Кратко и по существу — сравнение по ключевым аспектам.
1) Источники теории
- Классическая механика: родилась из прямых эмпирических наблюдений (Галилей — падение тел, Кеплер — планетные орбиты, наблюдения прикладной механики). Эти факты формировали эмпирические законы, которые затем математически формализовали.
- Теоретическая физика XX века: часто инициировалась либо экспериментальными аномалиями (черное тело, фотоэлектрический эффект, спектры атомов, отклонения в разложении релятивистских эффектов), либо потребностью математической согласованности (принцип общей ковариантности, квантовая непротиворечивость). Часто математика сама предсказывала новые явления (пример — позитрон из уравнения Дирака).
2) Роль математики как метода
- Классическая механика: математика — инструмент для формулировки и решения задач (калькулюс, дифференциальные уравнения). Формулы просты и прямы: $F=ma$, $F=G\frac{m_1{m}_2}{r^2}$. Математические модели тесно связанные с визуально-интуитивной картиной движения.
- XX век: математика стала не только инструментом, но и генератором идей (тензорный анализ в ОТО, функциональный анализ и гильбертовы пространства в квантмеханике, теория групп и калибровочные теории в квантовой теории поля). Примеры основных уравнений: уравнения Эйнштейна $$G_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu },$$ уравнение Шредингера $$i\hslash \frac{\partial }{\partial t}\psi =\hat{H}\psi ,$$ коммутационное соотношение $[x,p]=i\hslash$. Математическая структура часто задаёт допустимые физические теории.
3) Отношение к эксперименту и проверяемость
- Классика: строгая эмпирическая верификация в макромасштабах; эксперименты просты и повторяемы; теория очень предсказуема и детерминистична.
- XX век: проверки часто требуют точных и технологичных экспериментов (электронные спектры, коллайдеры, астрофизические наблюдения). Теории дают статистические/квантовые предсказания или геометрические эффекты, иногда косвенные (гравитационные волны, отклонение светового луча — эксперимент 1919). Часто нужны высокоточные измерения, и некоторые предсказания долгое время оставались экспериментально недоступны.
4) Методологические различия и идеализации
- Классика: модель близка к «наглядной» картине мира; идеализации (без трения, твердые тела) ясны и контролируемы.
- XX век: модели менее интуитивны; используются абстрактные принципы (принцип относительности, суперпозиция, калибровочная инвариантность). Интерпретация (например, квантовая механика) стала предметом философских дискуссий.
5) Примеры, иллюстрирующие различие
- Классика: из наблюдений Кеплера + математики Ньютон → универсальная теория гравитации и механики с простыми законами $F=ma$.
- XX век: аномалии (черное тело, фотоэффект) + новые математические идеи → квантовая механика; принцип инвариантности скорости света + математическая симметрия пространства‑времени → специальная и затем общая теория относительности. Математика (симметрии, калибровки, унитарность) часто предвосхищает физические открытия (Дирак, Ян‑Миллс).
Вывод: в становлении классической механики эмпирические наблюдения задавали основной импульс, а математика служила эффективным инструментом формализации и расчёта. В теоретической физике XX века роль математики возросла: она не только формализует, но и направляет построение теорий, часто опережая или дополняя эксперимент, при этом эксперимент остаётся финальным арбитром истины. Оба подхода — эмпирический и математический — необходимы и взаимодополняемы.