Кратко о задаче логики: логика как дисциплина изучает понятия вывода, следования, доказательства и формальных систем, которые формализуют правильные приёмы рассуждения. Она разветвляется на синтаксис (правила доказательства), семантику (модели, значения истинности) и метатематику (доказуемость, полнота, разрешимость, сложность).

Классические законы (в формуле):

закон непротиворечия: (\neg (A \land \neg A));закон исключённого третьего: (A \lor \neg A);принцип взрыва (ex contradictione quodlibet): из противоречия следует любое: ((A \land \neg A) \rightarrow B) (или ({A,\neg A}\models B)).

Когда эти законы оказывается недостаточно (суть и примеры) и какие неклассические логики появились в ответ:

1) Парадоксы самоотнесённости (Лжец и т.п.)

Проблема: семантические и синтаксические парадоксы создают формулы, которые одновременно ведут к противоречию и неразрешимы в классике.Последствие: поддержка дозированного принятия противоречий — пароконсиcтентные (парасистентные) логики, которые отвергают принцип взрыва и не выводят произвольную формулу из (A\land\neg A).

2) Ваги́нность (сорит и пограничные случаи)

Проблема: термины с неясными границами затрудняют применение бивалентной схемы "истина/ложь".Решения: логики с множеством значений (многозначные, например логика Лукаше́вича или Клини — третье значение (\frac{1}{2})), или прагматические подходы (три- и более значений), фуззи-логика для градуированных истин.

3) Конструктивизм и теория доказательства

Проблема: в конструктивной математике доказательство существования требует явной конструкции; принятие (A\lor\neg A) без построения недопустимо.Решение: интуиционистская логика (Ге́рбарт/Брауэр), где не принимается общая схема (A\lor\neg A). Формально семантика реконструируется через доказательства/конструкции (например, семантика Крипке).

4) Квантово-логические особенности

Проблема: в квантовой механике наблюдаемые свойства не всегда сочетаются классически (суперпозиция, несовместимые измерения).Решение: квантовая логика (Биркхофф–вон Нейман) изменяет алгебру множеств событий (ортокомплементируемые решётки), где классические законы разбиваются на уровне операций совокупности событий.

5) Релевантность и причинность рассуждений

Проблема: в классике следование допускает выводы, не имеющие отношения к предпосылкам (парадоксы материал импликации).Решение: релевантная логика и субструктурные логики (удаление правил структурной логики: сокращение, обмен, ассомби; логики линейного типа) требуют связи между предпосылками и выводом.

6) Неполная/неопределённая информация, немонотонное мышление

Проблема: в реальных базах знаний новые факты могут отменять прежние выводы (коммонсензус, дедукция по умолчанию).Решение: логики неполного и немонотонного вывода (дефолтная логика, систематизация непротиворечивых предположений), теории ревизии убеждений (AGM).

7) Вероятностные и статистические доводы

Проблема: выводы не детерминированы, а вероятностны.Решение: вероятностная логика, Bayesian-формализмы, логики с мерой правдоподобия.

Практические применения, где неклассические логики полезны:

Информатика: проверка программ, работа с противоречивыми базами данных (пароконсиcтентные логики), логика программирования (интуиционистская/типовые системы), логика доступа и безопасности (нелинейные логики).Искусственный интеллект: немонотонное рассуждение, дедукция по умолчанию, управление неопределённостью (фуззи, вероятностные модели).Философия математики: конструктивизм vs классика.Физика: формализация квантовой теории.Лингвистика: семантика естественного языка и нечеткость.

Границы и методологические замечания:

Классическая логика остаётся адекватной и чрезвычайно полезной там, где можно принимать бивалентную оценку истинности и требовать непротиворечивости; её теоретическая инфраструктура (полнота, компактность, развитая модельная теория) даёт мощные инструменты.Выбор логики зависит от цели: семантических требований (время, ресурсы, неопределённость), онтологии предметной области и допустимых методологических принципов (конструктивизм, допущение противоречий).Развитие неклассических логик — не «замена» классики, а инструментальное расширение: каждая неклассическая система фиксирует и формализует другой интуитивный или прикладной режим рассуждения, устраняя конкретные недостатки классики (взрыв, бивалентность, материал-импликация и т.д.).

Краткий вывод: классические законы хороши при строгой bivalentной и непротиворечивой постановке, но встречаются реальные и концептуальные ситуации (парадоксы, неопределённость, конструктивные требования, физические несоответствия, прагматические нужды), где они либо неприменимы, либо ведут к нежелательным выводам; это стимулировало создание множества неклассических логик, каждая из которых модифицирует один или несколько аспектов классической системы для адекватной формализации соответствующих случаев.