Коротко: классическая логика исходно предполагает объективную, контекст‑независимую реальность с двумя значениями истинности (бинарность), тогда как нелокальная / некокомплементарная (интуиционистская, конструктивная) логика связывает истинность с процедурой установления (доказуемостью, контекстом). Это различие — не просто техническое — отражается в том, как формулируют и понимают утверждения в математике и в квантовой физике.
Что именно отличается (главные формулы и последствия)
- Закон исключённого третьего: классика принимает $P\vee \neg P$ для любой формулы $P$; интуиционизм этого в общем не признаёт — истина требует конструктивного доказательства. Соответственно двойное отрицание не обращается автоматически: в классике $\neg \neg P\Rightarrow P$, в интуиционизме это не верно в общем.
- Дискретность/бивалентность vs контекстность: классика допускает глобальные присвоения истинностных значений; в квантовой ситуации это часто невозможно (см. далее).
Проявления в математике
- Тип доказательства: классическая математика использует непрямые доказательства и некомпьютируемые существования (например доказательства существования без явного построения). Интуиционистская математика требует конструктивного построения — доказательство равно алгоритму, что формализуется через соответствие Карри‑Ховарда (доказательство — программа).
- Алгебра логики: классическая логика моделируется булевыми алгебрами; интуиционистская — через Хейтинговы алгебры (Heyting algebras), внутреннюю логику топосов: открытые множества топологического пространства уже дают интуиционистскую логику (оператор импликации задаётся как наибольшее множество $U$ такое, что $U\cap V\subset W$).
- Последствие: многие класические теоремы либо теряют силу, либо требуют переработки в конструктивной теории; меняется понятие «существует» — теперь значит «можно построить».
Проявления в квантовой физике
- Некоммутативность наблюдаемых: в квантовой механике наблюдаемые представлены операторами на гильбертовом пространстве $\mathcal{H}$; множества истинностных утверждений не образуют булеву алгебру, а lattice замкнутых подпространств — ортомодулярная решётка, в которой нарушается дистрибутивность:
$$P\wedge (Q\vee R)\ne (P\wedge Q)\vee (P\wedge R)$$ это отражает невозможность одновременно задать все свойства системы как в классической модели.
- Теоремы о контекстности: теорема Кохена–Спекера показывает невозможность присвоить всем проекциям $P$ на $\mathcal{H}$ значения $v(P)\in \{0,1\}$ так, чтобы они согласовывались с функциональными соотношениями (т.е. нет глобальной невмешательной оценки свойств). Формально нет функции $v$ с $v(P)\in \{0,1\}$ для всех $P$, сохраняющей отношения сумм/проекций.
- Нелокальность и неравенства Белла: экспериментально наблюдаются корреляции, которые нарушают классические неравенства (например CHSH):
$$S=⟨A_1{B}_1⟩+⟨A_1{B}_2⟩+⟨A_2{B}_1⟩-⟨A_2{B}_2⟩,$$ классический предел $|S|\le 2$, квантовая теория позволяет $|S|=2\sqrt{2}$. Это ставит выбор: отказаться либо от локального реализма, либо от идеи о предзаданных значениях всех свойств.
- Подходы на основе интуиционистской логики: топос‑подходы к квантовой теории (Isham, Döring и др.) строят «внутреннюю» интуиционистскую логику предметной области: вместо одной глобальной булевой логики — семейство локальных (коммутирующих) контекстов, истинностные значения становятся «локальными» (сыверами), т.е. зависят от контекста измерения. Это формально соответствует отказу от глобальной бивалентности и использованию Хейтинговой логики внутри соответствующего топоса.
Итог (смысл различия)
- Классическая логика отражает метафизику: свойства существуют независимо от наблюдателя, им можно присвоить глобальные 0/1 значения. В математике даёт мощный аппарат непрямых аргументов; в физике — применима к классическим системам.
- Интуиционистская / некокомплементарная позиция отражает, что истинность зависит от процесса установления (доказательства, контекста измерения). В математике это даёт конструктивный, вычислимый взгляд на объекты; в квантовой физике — естественную модель контекстности и отсутствия глобальной невмешательной картины мира (через ортомодулярные логики, теоремы типа Кохен–Спекера и топосные формализации).
Коротко: разница — не только в правилах вывода, а в том, что они эксплицируют разные онтологии: бивалентную, контекст‑независимую (классика) против контекстно‑зависимой, конструктивной (интуиционизм/топосный взгляд), что особенно заметно в квантовой теории.