Момент инерции сплошного цилиндра относительно оси, проходящей через его центр масс и параллельной его основаниям, вычисляется по формуле:

[ I = \frac{1}{2} mR^2 + \frac{1}{12} mL^2 ]

где:

( I ) - момент инерции цилиндра,( m ) - масса цилиндра,( R ) - радиус цилиндра,( L ) - длина цилиндра.

Отстоящая от центра на ( \frac{1}{2} L ) продольная ось будет проходить через центр масс и перпендикулярна оси цилиндра. Для такой оси момент инерции будем определять по формуле для момента инерции цилиндра, помещенного в точку центра масс:

[ I' = I + md^2 ]

где ( d = \frac{L}{2} ) - расстояние от центра цилиндра до оси вращения.

Подставляем формулу для момента инерции цилиндра:

[ I' = \frac{1}{2} mR^2 + \frac{1}{12} mL^2 + \frac{1}{4} mL^2 ]

[ I' = \frac{2}{3} mR^2 + \frac{1}{3} mL^2 ]

Таким образом, формула для определения момента инерции сплошного цилиндра массой ( m ), длины ( L ) и радиуса ( R ) относительно продольной оси, отстоящей от центра на ( \frac{1}{2} L ):

[ I' = \frac{2}{3} mR^2 + \frac{1}{3} mL^2 ]