Допустим, что имеется путь общей длины L, который разделен на n участков. Пусть v1, v2, ..., vn - скорости на отдельных участках пути.

Тогда средняя скорость на всем пути будет равна общему расстоянию L, разделенному на общее время t, затраченное на прохождение всего пути:

V = L / t

Общее время t можно расписать как сумму времен t1, t2, ..., tn, затраченных на прохождение каждого участка пути:

t = t1 + t2 + ... + tn

Общее расстояние L также можно представить как сумму расстояний L1, L2, ..., Ln каждого участка:

L = L1 + L2 + ... + Ln

Тогда средняя скорость можно представить в виде:

V = (L1 + L2 + ... + Ln) / (t1 + t2 + ... + tn)

Также средняя скорость на отдельных участках будет равна:

Vi = Li / ti

Предположим, что v1 - наименьшая скорость на отдельном участке и vn - наибольшая скорость. Тогда средняя скорость можно представить в виде:

V = (L1 + L2 + ... + Ln) / (t1 + t2 + ... + tn) < (L1 + L2 + ... + Ln) / (L1/v1 + L2/v2 + ... + Ln/vn) = (L1 + L2 + ... + Ln) / (L1/v1) = v1

Аналогично можно показать, что средняя скорость меньше наибольшей из средних скоростей на отдельных участках.

Таким образом, средняя скорость на всем пути будет больше наименьшей из средних скоростей на отдельных участках и меньше наибольшей из них.