Для материальной точки, совершающей гармонические колебания по закону косинуса, уравнение колебаний может быть записано в виде:

x(t) = A*cos(ωt + φ),

где x(t) - координата точки в момент времени t, A - амплитуда колебаний, ω - угловая частота, φ - начальная фаза.

Период колебаний T связан с угловой частотой ω следующим образом:

T = 2π/ω.

Из условия задачи мы знаем, что период колебаний T = 2 с, полная энергия точки E = 10^{-4} Дж и масса m = 10 г = 0.01 кг.

Полная энергия точки в гармонических колебаниях состоит из кинетической E_kin = 0.5mv^2 и потенциальной E_pot = 0.5kx^2 энергий, где v - скорость точки, k - коэффициент упругости пружины, x - отклонение точки от положения равновесия.

Используя формулу для кинетической энергии и потенциальной энергии, можем записать:

E = E_kin + E_pot = 0.5mv^2 + 0.5kx^2.

Поскольку находимся в случае гармонических колебаний, скорость точки и координата x выражаются через амплитуду A и угловую частоту ω:

v = Aωsin(ωt + φ),

x = A*cos(ωt + φ).

Подставив эти выражения в уравнение для полной энергии, получаем:

E = 0.5m(Aωsin(ωt + φ))^2 + 0.5k(A*cos(ωt + φ))^2.

Так как m = 0.01 кг и E = 10^{-4} Дж, можем определить k:

E = 0.50.01(Aω)^2 + 0.5k*A^2 = 10^{-4}.

Также, используя соотношение T = 2π/ω, можем найти ω и подставить его обратно в выражение для x(t), чтобы найти f:

x(t) = Acos(2π/Tt + φ).

Таким образом, получаем уравнение колебаний материальной точки.