Коротко и по делу.
1) Связь смещения резонансной частоты с силами
- Ненагруженный кантилевер описывается как гармонический осциллятор: $f_0=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$.
- Взаимодействие с поверхностью вносит дополнительную эффективную жёсткость $k_{ts}(z)=\partial F/\partial z$. При малом величине $k_{ts}$ сдвиг частоты:
$$\Delta f\equiv f-f_0\approx -\frac{f_0}{2k}{k}_{ts}=-\frac{f_0}{2k}\frac{\partial F}{\partial z}.$$ (знак «−» означает, что привлекательная градиентная сила ($\partial F/\partial z<0$) понижает частоту).
- Для конечной амплитуды колебаний $A$ (важно в FM-AFM) нужно усреднять по траектории. Общая формула (Giessibl) для средних гармоник:
$$\Delta f=-\frac{f_0}{\pi kA}{\int }_0^{\pi }F(z_0+A\cos \theta )\cos \theta d\theta .$$ При малой амплитуде $A\to 0$ эта формула даёт предыдущую формулу через локальный градиент силы.
2) Шумовые ограничения (минимально обнаруживаемая величина)
- Термический шум (механический): спектральная плотность флуктуаций силы
$$S_F(\omega )=\frac{4k_{B}Tk}{{\omega }_{0}Q}\text{(односторонняя)}.$$ За полосу пропускания $B$ среднеквадратичная термошум‑сила
$$\delta F_{th}=\sqrt{\frac{4k_{B}Tk}{{\omega }_{0}Q}B}\text{(Н)}.$$ - Для FM‑дetection удобна характеристика минимально обнаруживаемого градиента силы (рms за полосу $B$). При термошуме даёт часто используемую оценку
$$\delta k_{ts}^{(th)}=\sqrt{\frac{4k{k}_{B}TB}{\pi A^2{f}_{0}Q}}.$$ Это выражение показывает ключевые зависимости: шум уменьшается при увеличении $Q$, амплитуды $A$ и собственной частоты $f_0$; растёт с жёсткостью $k$, температурой $T$ и полосой $B$.
- Преобразование градиента в эквивалентную силу зависит от эффективного диапазона взаимодействия $\lambda$. При грубой оценке
$$\delta F\sim \delta k_{ts}\times \lambda .$$ Для коротко­дальнего (атомного) взаимодействия $\lambda$ — несколько ångström–нанометров, поэтому малый $\delta k_{ts}$ может соответствовать фемто–ньютонным силам.
3) Джиттер / детекторный шум и прочее
- Шум датчика смещения (спектральная плотность $S_x$, м^2/Гц) конвертируется в шум частоты примерно по масштабу «сдвиг частоты ~ (коэффициент) × (шум смещения)/A». Оценочно:
$$\delta f_{det}\sim \frac{f_0}{kA}\sqrt{S_{x}B},$$ и соответствующий вклад в минимальный $\delta k_{ts}$ ~ $\sim (2k/f_0)\delta f_{det}$. Точные коэффициенты зависят от схемы счёта фазы/PLL.
- Также важны: фазовый джиттер PLL/генератора, флуктуации амплитуды (преобразуются в частоту), 1/f-шум электроники, механические вибрации. Они суммируются квадратично с термошумом.
4) Практические выводы и оптимизация
- Для максимально низкого $\delta k_{ts}$: высокая добротность $Q$, большая амплитуда $A$ (но не слишком большая, чтобы не усреднять коротко‑дальные силы), высокая $f_0$ и низкая температура $T$.
- Для измерения короткодействующих атомных сил выгодны малые амплитуды (чтобы локализовать чувствительность), однако это повышает термический вклад (см. зависимость $1/A$). Практический выбор — компромисс между чувствительностью и пространственным разрешением.
- Оцените реальные пределы, подставив параметры вашего кантилевера в формулы выше.
Если хотите, могу подставить конкретные числа ( $k,f_0,Q,A,T,B$ ) и посчитать $\Delta f$, $\delta k_{ts}$ и $\delta F$.