Для того чтобы доказать, что КПД гладкой наклонной плоскости равен единице, рассмотрим следующее.

Рассмотрим наклонную плоскость под углом α к горизонту. Пусть m - коэффициент трения между телом и плоскостью, a - ускорение свободного падения.

КПД (коэффициент полезного действия) наклонной плоскости определяется как отношение работы силы трения к работе всех действующих сил:

η = (Ar)/(|F|s),

где η - КПД, A - работа силы трения, r - путь, по которому перемещается тело, F - приложенная сила, s - путь, по которому сила приложена.

На наклонной плоскости сила трения и сила упругости (вертикальная компонента силы реакции опоры) компенсируют друг друга, что приводит к тому, что постоянной является только горизонтальная компонента реакции опоры N. Она равна N = mgcos(α).

С учетом этого, работа силы трения будет равна:

A = Ff* r = μNrsin(α),

где μ - коэффициент трения.

Таким образом, КПД наклонной плоскости будет равен:

η = μNrsin(α)/(|F|s) = μNrsin(α)/(mgsin(α)) = μN/mg = μ.

Таким образом, видим, что КПД наклонной плоскости равен коэффициенту трения между телом и плоскостью. Если коэффициент трения равен единице, то и КПД наклонной плоскости будет равен единице.