Для продифференцирования формулы тонкой линзы 1/F=1/d+1/f по времени, мы будем использовать цепное правило дифференцирования. Запишем данное уравнение в следующем виде:

F=1/(1/d+1/f)

Теперь продифференцируем обе стороны уравнения по времени t:

dF/dt = d/dt [1/(1/d+1/f)]

Продифференцируем правую часть уравнения:

dF/dt = -1/(1/d+1/f)^2 * (d/dt [1/d] + d/dt [1/f])

Теперь продифференцируем отдельно каждое слагаемое:

dF/dt = -1/(1/d+1/f)^2 * (-d/dt [1/d^2] - d/dt [1/f^2])

dF/dt = -1/(1/d+1/f)^2 (-(-1/d^2)d/dt[d] - (-1/f^2)*d/dt[f])

dF/dt = -1/(1/d+1/f)^2 (1/d^2 vd + 1/f^2 * vf)

где vd и vf - продольные скорости дипольного момента линзы.

Теперь используем формулу тонкой линзы 1/F=1/d+1/f для подстановки в полученное выражение:

1/F^2 = (1/d^2 + 1/f^2)^2

F^2 = (d^2+f^2)^2

F = sqrt(d^2+f^2)

Теперь подставим это выражение в предыдущее уравнение:

dF/dt = -1/(d^2+f^2) (1/d^2 vd + 1/f^2 * vf)

Таким образом, мы доказали, что продольные скорости в линзе связаны отношением через Г^2 (гамма).