При колебаниях на пружине перемещение груза можно описать с помощью формулы для колебательного движения:

x(t) = Acos(ωt + φ)

где x(t) - перемещение груза в момент времени t, A - амплитуда колебаний, ω - круговая частота (ω = 2πf, где f - частота колебаний), φ - начальная фаза.

Поскольку время, равное половине периода колебаний, составляет T/2, где T - период колебаний (T = 1/f), то подставляя T/2 в формулу для x(t) получим:

x(T/2) = Acos(ω*(T/2) + φ)

Так как cos(π) = -1, то учитывая, что sin(φ) = sin(φ + π), получаем:

x(T/2) = Acos(π + φ)

x(T/2) = -Acos(φ)

Таким образом, перемещение груза, колеблющегося на пружине, за время, равное половине периода колебаний, равно -Acos(φ).