Помещенная в вакуум очень тонкая пластинка имеет форму кольца с внутренним радиусом 45 мм и внешним радиусом 133 мм по кольцу равномерно распределен заряд 615 нКл. Определить потенциал в точке, лежащей на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно ее плоскости, на расстоянии 106 мм от нее.
Для нахождения потенциала в точке, лежащей на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, на расстоянии 106 мм от нее, можно воспользоваться формулой для потенциала от кольца заряда: V=k⋅Qr⋅(11+(dr)2−11+(Dr)2),V = \frac{k \cdot Q}{r} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{d}{r})^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{D}{r})^2}} \right),V=rk⋅Q⋅1+(rd)21−1+(rD)21,
где kkk - постоянная Кулона (8.99×109 Н⋅м2/Кл2)(8.99 \times 10^9 \, Н \cdot м^2/Кл^2)(8.99×109Н⋅м2/Кл2), QQQ - общий заряд кольца, rrr - расстояние от центра кольца до точки, ddd - расстояние от центра кольца до прямой, DDD - внешний радиус кольца.
Для нахождения потенциала в точке, лежащей на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно его плоскости, на расстоянии 106 мм от нее, можно воспользоваться формулой для потенциала от кольца заряда:
V=k⋅Qr⋅(11+(dr)2−11+(Dr)2),V = \frac{k \cdot Q}{r} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{d}{r})^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + (\frac{D}{r})^2}} \right),V=rk⋅Q ⋅ 1+(rd )2 1 −1+(rD )2 1 , где kkk - постоянная Кулона (8.99×109 Н⋅м2/Кл2)(8.99 \times 10^9 \, Н \cdot м^2/Кл^2)(8.99×109Н⋅м2/Кл2), QQQ - общий заряд кольца, rrr - расстояние от центра кольца до точки, ddd - расстояние от центра кольца до прямой, DDD - внешний радиус кольца.
Подставим известные значения:
Q=615×10−12 КлQ = 615 \times 10^{-12} \, КлQ=615×10−12Кл,
r=106 мм=0.106 мr = 106 \, мм = 0.106 \, мr=106мм=0.106м,
d=0d = 0d=0,
D=133 мм=0.133 мD = 133 \, мм = 0.133 \, мD=133мм=0.133м.
V=8.99×109⋅615×10−120.106⋅(11+(0)2−11+(0.133/0.106)2),V = \frac{8.99 \times 10^9 \cdot 615 \times 10^{-12}}{0.106} \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{1 + (0)^2}} - \frac{1}{\sqrt{1 + (0.133/0.106)^2}} \right),V=0.1068.99×109⋅615×10−12 ⋅(1+(0)2 1 −1+(0.133/0.106)2 1 ),
V=5.62×10−30.106⋅(1−11+(1.255)2).V = \frac{5.62 \times 10^{-3}}{0.106} \cdot \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 + (1.255)^2}} \right).V=0.1065.62×10−3 ⋅(1−1+(1.255)2 1 ).
Вычислим значение подкоренного выражения:
1+(1.255)2=1+1.575=2.575≈1.6033.\sqrt{1 + (1.255)^2} = \sqrt{1 + 1.575} = \sqrt{2.575} \approx 1.6033.1+(1.255)2 =1+1.575 =2.575 ≈1.6033.
Теперь подставим это значение в формулу для потенциала:
V=5.62×10−30.106⋅(1−11.6033),V = \frac{5.62 \times 10^{-3}}{0.106} \cdot \left(1 - \frac{1}{1.6033}\right),V=0.1065.62×10−3 ⋅(1−1.60331 ),
V=5.62×10−30.106⋅(1−0.6231),V = \frac{5.62 \times 10^{-3}}{0.106} \cdot \left(1 - 0.6231\right),V=0.1065.62×10−3 ⋅(1−0.6231),
V=5.62×10−30.106×0.3769,V = \frac{5.62 \times 10^{-3}}{0.106} \times 0.3769,V=0.1065.62×10−3 ×0.3769,
V≈0.0202 В.V \approx 0.0202 \, В.V≈0.0202В.
Таким образом, потенциал в указанной точке равен примерно 0.0202 В.