Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. По условию задачи потерями тепла пренебрегаем, а значит вся теплота от стержня перейдет в воду.

Пусть длина стержня равна L см, его объем V = 20 куб. см, начальная температура стержня T1 = 300°С, начальная температура воды t1 = 0°С, конечная температура системы t2 = 23°С, масса воды M = 10 кг, удельная теплоемкость воды c = 1 ккал/кг°С = 4,18 кДж/кг°С, удельная теплоемкость меди c_m = 0,094 кДж/кг°С.

Количество теплоты, которое получит вода:
Q_в = c M (t2 - t1) = 4,18 10 (23 - 0) = 976,4 кДж.

Теплота, перешедшая из стержня в воду:
Q_st = c_m m (T1 - t1) = c_m V L * (T1 - t1).

Так как вся теплота из стержня перешла в воду, то Q_в = Q_st:
976,4 = 0,094 20 L (300 - 0),
976,4 = 188 L,
L = 976,4 / 188,
L ≈ 5,2 см.

Итак, длина стержня равна примерно 5,2 см.