Для решения задачи воспользуемся формулами для равноускоренного и равномерного движения.

Полный путь S разделим пополам: первая половина - S1, вторая половина - S2.

Для первой половины пути:
V1 = 36 км/ч = 10 м/с (1 км/ч = 1/3.6 м/с)
V2 = 108 км/ч = 30 м/с

Так как скорость увеличивается равномерно, то можем найти ускорение по формуле:
a = (V2 - V1) / t

где t - время, за которое автомобиль ускорился от V1 до V2.

Вторая половина пути:
V = 108 км/ч = 30 м/с
S = S2

Средняя путевая скорость Vср найдется по формуле:
Vср = S / (t1 + t2)

где t1 - время, которое автомобиль двигался равноускоренно, t2 - время, которое автомобиль двигался равномерно.

Найдем ускорение:
a = (30 - 10) / t
a = 20 / t

По формуле равноускоренного движения:
S1 = V1 t + 0.5 a * t^2

S1 = 10t + 0.5 (20 / t) t^2

S1 = 10t + 10t = 20t

Для второй половины пути средняя путевая скорость равна скорости V2:
Vср = 30 м/с

Итак, средняя путевая скорость автомобиля равна 30 м/с.