Для вывода формулы для работы, совершенной газом при его расширении от объема V1 до объема V2, воспользуемся следующими шагами:

Работа, совершаемая газом при его расширении, определяется как интеграл от давления по объему:
[A = \int_{V_1}^{V_2} P dV]

Подставляем данное нам выражение для зависимости давления от объема:
[A = \int_{V_1}^{V_2} \frac{\alpha}{V} dV]

Интегрируем это выражение по объему:
[A = \alpha \int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V} dV]
[A = \alpha \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)]

Итак, формула для работы, совершенной газом при его расширении от объема V1 до объема V2, выглядит следующим образом:
[A = \alpha \ln \left( \frac{V_2}{V_1} \right)]