Когда шары соединены проволокой, заряды на них распределяются таким образом, что они находятся в электростатическом равновесии. Известно, что при таком распределении зарядов, напряжение на поверхности проводника в каждой точке одинаково и равно нулю.

Мы можем использовать это утверждение, чтобы найти отношение поверхностей плотности зарядов на шарах к их радиусам. Для этого нужно рассмотреть силу, действующую на заряд q1 на первом шаре.

Сила, действующая на заряд q1 со стороны заряда q2 на втором шаре, будет равна:
F = k q1 q2 / r^2,

где k - постоянная Кулона, r - расстояние между шарами.

Эта сила должна компенсироваться силой реакции со стороны провода. Сила реакции равна F' = q1 * E,
где E - напряженность электрического поля на поверхности проводника, которая равна 0.

Из этого уравнения мы можем найти отношение q1 к q2:
q1 / q2 = r^2 / R2^2.

Теперь мы можем использовать это отношение, чтобы найти отношение плотностей зарядов на поверхности шаров к их радиусам. Плотность заряда можно определить как:
σ1 = q1 / S1,
σ2 = q2 / S2,

где S1 и S2 - площади поверхностей шаров.

Отношение плотностей зарядов к радиусам шаров будет равно:
σ1 / R1 = (q1 / S1) / R1 = (q1 / q2) * (R2^2 / R1^2) = R2^2 / R1^2.

Таким образом, отношение плотностей зарядов на шарах к их радиусам равно квадрату радиуса второго шара к квадрату радиуса первого шара.