Для того чтобы цилиндр не скатывался, необходимо, чтобы сила трения между цилиндром и плоскостью превышала силу, вызванную весом цилиндра, направленную вдоль наклонной плоскости.

Сначала найдем силу трения между цилиндром и плоскостью. Сила трения равна произведению коэффициента трения между материалами, участвующими в трении, на нормальную реакцию R наклонной плоскости. Нормальная реакция R равна силе, действующей перпендикулярно к плоскости и равная проекции силы тяжести цилиндра на нормаль к плоскости.

Проекция силы тяжести цилиндра на нормаль к плоскости равна mgcos(угол), где m - масса цилиндра, g - ускорение свободного падения, а угол - угол наклона плоскости.

Таким образом, сила трения Fтр = μR = μmgcos(угол), где μ - коэффициент трения между цилиндром и плоскостью.

Теперь найдем силу, вызванную весом цилиндра, направленную вдоль наклонной плоскости. Эта сила равна mgsin(угол), где m - масса цилиндра, g - ускорение свободного падения, а угол - угол наклона плоскости.

Для того чтобы цилиндр не скатывался, необходимо, чтобы Fтр > Fвес. Таким образом, уравнение для максимального угла наклона плоскости будет:

μmgcos(угол) > mgsin(угол),
μcos(угол) > sin(угол),
μ > tan(угол).

Отсюда получаем, что максимальный угол наклона плоскости равен arctan(μ).