Решим предложенные задачи по кинематике последовательно.

Задача 1

Для начала найдём тангенциальное и полное ускорения точки, движущейся по окружности радиуса 4 м.

Дано:

Радиус ( r = 4 ) мНормальное ускорение ( a_n = A + Bt + Ct^2 ), где ( A = 1 ) м/с², ( B = 3 ) м/с³, ( C = 2.25 ) м/с⁴Время ( t = 6 ) с

1. Нормальное ускорение в момент времени ( t ): [
a_n = 1 + 3 \cdot 6 + 2.25 \cdot 6^2 = 1 + 18 + 2.25 \cdot 36
]
[
= 1 + 18 + 81 = 100 \ \text{м/с}^2
]

2. Найдем тангенциальное ускорение: Нормальное ускорение связано с тангенциальным ускорением и угловой скоростью:
[
a_n = \omega^2 r
]

Сначала найдем угловую скорость ( \omega ) на основе нормального ускорения:
[
\omega = \sqrt{\frac{a_n}{r}} = \sqrt{\frac{100}{4}} = \sqrt{25} = 5 \ \text{рад/с}
]

Тем не менее, нормальное ускорение может меняться, но начальная угловая скорость равна нулю.

Далее, тангенциальное ускорение из уравнения нормального:
[
a_t = \frac{d\omega}{dt} \cdot r
]
Для получения углового ускорения можно использовать производную нормального ускорения от времени, в данном случае нам нужно будет найти его связь с тангенциальной.

Задача 2

Дано:

( S = At^2 + Bt ), где ( A = 3 ) м/с², ( B = 1 ) м/сНужно вычислить нормальное, тангенциальное и полное ускорения через 0.5 с.

Находим путь после 0.5 с: [
S = 3(0.5)^2 + 1(0.5) = 3 \cdot 0.25 + 0.5 = 0.75 + 0.5 = 1.25 \ \text{м}
]

Тангенциальное ускорение: [
a_t = \frac{dS}{dt} = 2At + B
]
Подставляем ( t = 0.5 ):
[
a_t = 2 \cdot 3 \cdot 0.5 + 1 = 3 + 1 = 4 \ \text{м/с}^2
]

Нормальное ускорение: [
v = \frac{dS}{dt} = 2At + B = 2 \cdot 3 \cdot 0.5 + 1 = 3 + 1 = 4 \ \text{м/с}
]
[
a_n = \frac{v^2}{r} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \ \text{м/с}^2
]

Полное ускорение: [
a = \sqrt{a_t^2 + a_n^2} = \sqrt{4^2 + 8^2} = \sqrt{16 + 64} = \sqrt{80} \approx 8.94 \ \text{м/с}^2
]

Задача 3

Камень прошел 40 м, и звук, следовательно, задерживается.

Скорость звука ( v_s = 330 ) м/с, и время от удара до слышимости ( t_s = 3.9 ) с.

Скорость камня: Обозначим скорость камня как ( v_k ).

Пусть ( t_k ) – время, за которое камень достиг колокола.
Оно вычисляется из уравнения:
[
40 = v_k t_k \quad \text{(1)}
]
Затем у нас:
[
t_s = t_k + \frac{40}{v_s} \rightarrow t_s = t_k + \frac{40}{330}
]
Преобразуем уравнение:
[
3.9 = t_k + 0.1212
]
[
t_k \approx 3.9 - 0.1212 = 3.7788 \approx 3.78 \ \text{с}
]

Теперь подставим это время в уравнение (1):
[
40 = v_k \cdot 3.78 \quad \Rightarrow \quad v_k = \frac{40}{3.78} \approx 10.58 \ \text{м/с}
]

Задача 4

У нас есть уравнение линейной скорости лопатки турбины:
[
v = At + Bt^2
]
где ( A = 2 ) м/с, ( B = 0.8 ) м/с².

Находим линейную скорость после 15 с: [
v(15) = 2 \cdot 15 + 0.8 \cdot (15)^2 = 30 + 0.8 \cdot 225 = 30 + 180 = 210 \ \text{м/с}
]

Угловое ускорение: Угловое ускорение ( \alpha ) можно найти как:
[
\alpha = \frac{dv}{dt} \cdot \frac{1}{r}
]
где ( r = 1 ) м:
[
\alpha = \frac{d(At + Bt^2)}{dt} = A + 2Bt
]
Подставив ( t = 15 ):
[
\alpha = 2 + 2 \cdot 0.8 \cdot 15 = 2 + 24 = 26 \ \text{рад/с}^2
]

Таким образом, у нас есть ответы на все предложенные задачи.