Для нахождения третьей стороны треугольника, в котором две стороны равны 7 см и 4 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 4 см, можно воспользоваться формулой для медианы.

Обозначим стороны треугольника как ( a = 7 ) см, ( b = 4 ) см и ( c ) - третья сторона. Обозначим длину медианы, проведенной к стороне ( c ), как ( m_c = 4 ) см.

Формула для длины медианы ( m_c ) выглядит так:

[
m_c = \frac{1}{2} \sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}
]

Подставим известные значения в формулу:

[
4 = \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 7^2 + 2 \cdot 4^2 - c^2}
]

Умножим обе стороны на 2:

[
8 = \sqrt{2 \cdot 49 + 2 \cdot 16 - c^2}
]

Посчитаем ( 2 \cdot 49 + 2 \cdot 16 ):

[
2 \cdot 49 = 98, \quad 2 \cdot 16 = 32
]
[
2 \cdot 49 + 2 \cdot 16 = 98 + 32 = 130
]

Теперь у нас есть уравнение:

[
8 = \sqrt{130 - c^2}
]

Возведем обе стороны в квадрат:

[
64 = 130 - c^2
]

Переносим ( c^2 ) на одну сторону, а 64 на другую:

[
c^2 = 130 - 64
]
[
c^2 = 66
]

Теперь извлечем квадратный корень:

[
c = \sqrt{66} \approx 8.12 \text{ см}
]

Таким образом, третья сторона треугольника примерно равна ( 8.12 ) см.