Для начала, давайте определим, что такое средняя скорость. Она равна отношению перемещения к времени.

При движении по окружности радиусом ( R ) за один полный оборот материальная точка проходит длину окружности, которая равна ( L = 2\pi R ), и это занимает время ( T ).

Теперь рассмотрим четверть оборота. За четверть оборота длина пути, который проходит материальная точка, составляет:

[
L_{\text{четверть}} = \frac{1}{4} \cdot L = \frac{1}{4} \cdot 2\pi R = \frac{\pi R}{2}.
]

Время, затраченное на четверть оборота, составит:

[
t_{\text{четверть}} = \frac{T}{4}.
]

Теперь вычислим модуль вектора средней скорости. Средняя скорость ( V_{\text{ср}} ) равна:

[
V_{\text{ср}} = \frac{\Delta S}{\Delta t},
]

где ( \Delta S ) — это перемещение, а ( \Delta t ) — время.

При движении по окружности перемещение за четверть оборота будет равно прямому расстоянию между начальной и конечной точками. Если рассматривать четверть окружности, то конечная точка будет находиться на прямой, перпендикулярной радиусу, на расстоянии ( R ) по каждой координате. Это дает нам перемещение вектора в прямоугольной системе координат: от точки (R, 0) к точке (0, R).

Таким образом, ( \Delta S ) можно вычислить как длину диагонали, которая составляет:

[
\Delta S = \sqrt{(R - 0)^2 + (0 - R)^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}.
]

Теперь подставим значение перемещения и времени в формулу для средней скорости:

[
V_{\text{ср}} = \frac{R\sqrt{2}}{\frac{T}{4}} = \frac{4R\sqrt{2}}{T}.
]

Таким образом, модуль вектора средней скорости за четверть оборота равен:

[
V_{\text{ср}} = \frac{4R\sqrt{2}}{T}.
]