Для решения задачи давайте вспомним формулу для частоты свободных колебаний груза на пружине. Частота колебаний $f$ определяются по формуле:

$$f=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m}}$$

где:

Согласно условию задачи, начальная масса груза равна $m_1=400\text{г}=0.4\text{кг}$. Обозначим новую массу груза как $m_2$, которая нам нужна для того, чтобы частота $f_2$ колебаний стала в 2 раза меньше исходной частоты $f_1$:

$$f_2=\frac{f_1}{2}$$

Подставив это в формулу для частоты, получаем:

$$\frac{f_1}{2}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m_2}}$$

Теперь выразим $f_1$:

$$f_1=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m_1}}$$

Теперь подставим $f_1$ в уравнение для $f_2$:

$$\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m_1}}=\frac{1}{2\pi }\sqrt{\frac{k}{m_2}}$$

Убираем общий множитель $\frac{1}{2\pi }$:

$$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{k}{m_1}}=\sqrt{\frac{k}{m_2}}$$

Теперь возводим обе стороны в квадрат:

$$\frac{1}{4}\cdot \frac{k}{m_1}=\frac{k}{m_2}$$

Сокращаем на $k$ $предполагаем,что(k)неравнонулю$:

$$\frac{1}{4}\cdot \frac{1}{m_1}=\frac{1}{m_2}$$

Поэтому:

$$m_2=4m_1$$

Теперь подставим значение $m_1=0.4\text{кг}$:

$$m_2=4\cdot 0.4=1.6\text{кг}$$

Чтобы найти, на сколько надо увеличить массу груза:

$$\Delta m=m_2-m_1=1.6-0.4=1.2\text{кг}$$

Таким образом, нужно увеличить массу груза на 1.2 кг, чтобы частота колебаний стала в 2 раза меньше.