Для решения этой задачи мы можем использовать закон Снелла, который выражает соотношение между углом падения и углом преломления при переходе света из одной среды в другую:

$$n_1\cdot \sin ({\theta }_1)=n_2\cdot \sin ({\theta }_2)$$

где:

$n_1$ и $n_2$ — показатели преломления $длявоздуха(n_1=1),дляглицерина(n_2=1.47)$;${\theta }_1$ — угол падения;${\theta }_2$ — угол преломления.

Далее, согласно условию задачи, угол между преломленным и отраженным лучами равен 120°. Это значит, что:

$${\theta }_1+{\theta }_2=120^{\circ }$$

Теперь можно выразить один из углов через другой. Обозначим ${\theta }_2$ как угол преломления, тогда:

$${\theta }_1=120^{\circ }-{\theta }_2$$

Подставим это выражение в закон Снелла:

$$1\cdot \sin (120^{\circ }-{\theta }_2)=1.47\cdot \sin ({\theta }_2)$$

Теперь воспользуемся тригонометрической формулой для синуса разности:

$$\sin (120^{\circ }-{\theta }_2)=\sin (120^{\circ })\cdot \cos ({\theta }_2)-\cos (120^{\circ })\cdot \sin ({\theta }_2)$$

Значения функций синуса и косинуса для угла 120°:

$$\sin (120^{\circ })=\frac{\sqrt{3}}{2},\cos (120^{\circ })=-\frac{1}{2}$$

Подставим это в уравнение:

$$1\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \cos ({\theta }_2)+\frac{1}{2}\cdot \sin ({\theta }_2)\right)=1.47\cdot \sin ({\theta }_2)$$

Упрощаем уравнение:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos ({\theta }_2)+\frac{1}{2}\sin ({\theta }_2)=1.47\sin ({\theta }_2)$$

Переносим все слагаемые в одну сторону:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos ({\theta }_2)+\left(\frac{1}{2}-1.47\right)\sin ({\theta }_2)=0$$

Это уравнение можно записать в более привычной форме:

$$\frac{\sqrt{3}}{2}\cos ({\theta }_2)-0.97\sin ({\theta }_2)=0$$

Теперь выразим $\tan ({\theta }_2)$:

$$\tan ({\theta }_2)=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.97}$$

Находим значение угла ${\theta }_2$ через арктангенс:

$${\theta }_2=\arctan \left(\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{0.97}\right)$$

Теперь рассчитаем ${\theta }_2$:

Верхняя часть:

$$\sqrt{3}\approx 1.732$$ $$\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \frac{1.732}{2}\approx 0.866$$

Таким образом, мы имеем:

$$\frac{\sqrt{3}/2}{0.97}\approx \frac{0.866}{0.97}\approx 0.8917$$

Теперь вычислим угол с помощью арктангенса:

$${\theta }_2\approx \arctan (0.8917)\approx 41.9^{\circ }$$

Округляя до целых, получаем:

$${\theta }_2\approx 42^{\circ }$$

Поэтому угол преломления составляет 42°.