Для анализа движения машины по окружности на наклонной плоскости можем использовать второй закон Ньютона и рассмотреть силы, действующие на машину.

Силы, действующие на машину:

Сила тяжести $mg$, действующая вертикально вниз.Нормальная сила $N$, направленная перпендикулярно поверхности наклонной плоскости.Сила трения $f_{\text{тр}}$, направленная вдоль поверхности наклонной плоскости, противодействующая скольжению $вданномслучае,онабудетнаправленавнизпонаклонной,еслимашинадвижетсяпоокружности$.

Компоненты силы тяжести:

Компонента силы тяжести, действующая вдоль наклонной плоскости: $mg\sin \alpha$Компонента силы тяжести, действующая перпендикулярно наклонной плоскости: $mg\cos \alpha$

Нормальная сила:
Нормальная сила $N$ будет равна сумме компоненты силы тяжести, действующей перпендикулярно наклонной плоскости, и силы, вызванной центростремительным ускорением, необходимым для движения по окружности:
$$N=mg\cos \alpha +\frac{m{v}^2}{R}$$ где $v$ — скорость машины, а $R$ — радиус окружности.

Сила трения:
Максимальная сила трения, которая может действовать на машину, равна $f_{\text{тр,max}}=\mu N$.

Условие для неподвижности:
Чтобы машина не скользила, сила трения должна быть не менее центростремительной силы $\frac{m{v}^2}{R}$:
$$\mu N\ge \frac{m{v}^2}{R}$$

Подставляя нормальную силу $N$:
$$\mu \left(mg\cos \alpha +\frac{m{v}^2}{R}\right)\ge \frac{m{v}^2}{R}$$

Упрощая это неравенство и убирая $m$ $при(m\ne 0)$:
$$\mu g\cos \alpha +\mu \frac{v^2}{R}\ge \frac{v^2}{R}$$

Решение неравенства:
Переносим все его элементы на одну сторону:
$$\mu g\cos \alpha \ge \left(\frac{1}{R}-\mu \frac{1}{R}\right)v^2$$ $$\mu g\cos \alpha \ge \frac{(1-\mu )}{R}{v}^2$$ Теперь выразим $v^2$:
$$v^2\le \frac{\mu gR\cos \alpha }{(1-\mu )}$$

И, следовательно,
$$v\le \sqrt{\frac{\mu gR\cos \alpha }{(1-\mu )}}$$

Таким образом, максимально возможная скорость машины, при которой она не открывается от поверхности, составит:
$$v_{\text{max}}=\sqrt{\frac{\mu gR\cos \alpha }{(1-\mu )}}$$

Направление сил:

Сила тяжести направлена вертикально вниз.Нормальная сила направлена перпендикулярно поверхности наклонной плоскости.Сила трения направлена вниз по наклонной плоскости $еслимашинадвижетсяпоокружностипочасовойстрелке$.