Для решения данной задачи мы используем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Когда шарик врезается в клин и движется по его склону, система $шарик+клин$ подчиняется закону сохранения моментов количества движений в горизонтальном направлении.

Обозначим скорость клина $V$ после столкновения.

Согласуем начальный и конечный импульсы системы:

$$mv<em>0=mv</em>\text{sh}+MV$$

где $v_{\text{sh}}$ - скорость шарика в системе клина $послестолкновения$.

Когда шарик поднимается по клину, его скорость можно представить в проекции на направляющую, заданную углом $\alpha$:

$$v_{\text{sh}}=v_x\cos (\alpha )+v_y\sin (\alpha )$$

где $v_x$ – скорость вдоль оси x, а $v_y$ – скорость вдоль оси y. Из-за отсутствия трения, только вертикальная компонента скорости шарика будет преобразована в потенциальную энергию.

Потенциальная энергия на высоте $h$:

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}_{\text{sh}}^2$$

Теперь можем выразить $h$ в зависимости от $v_{\text{sh}}$.

$$h=\frac{v_{\text{sh}}^2}{2g}$$

Случай $M\to \infty$:
Клин «не движется», скорость клина стремится к нулю, вся энергия шарика превращается в потенциальную на высоте:

$$mgh=\frac{1}{2}m{v}_0^2⟹h=\frac{v_0^2}{2g}$$

Случай $M\to 0$:
Клин «улетает» от шарика из-за маленькой массы. В этом случае шарик не теряет свою начальную скорость, и можно будет рассчитать новую высоту:

Так как теперь клин уходит, шарик движется по параболической траектории, и его высота будет также:

$$h=\frac{v_0^2{\sin }^2(\alpha )}{2g}$$

Таким образом, maximum height $h$ зависит от массы клина, и в крайних случаях можно получить следующие значения:

Эти результаты показывают, как масса клина влияет на максимальную высоту, на которую поднимается шарик.

Уравнение m v0 = m v_sh + M V записано некорректно. Во-первых, v_sh $"скоростьшарикавсистемеклина"$ неясно определена. Во-вторых, это уравнение смешивает скорости в разных системах отсчета или в разные моменты времени без четкого определения. Представление v_sh через v_x и v_y неясно и не используется далее по существу. Утверждение про преобразование только вертикальной компоненты скорости в потенциальную энергию неверно в общем случае – закон сохранения энергии учитывает изменение полной кинетической энергии системы.

Уравнение m g h = 1/2 m v_sh^2 неверно