Для решения данной задачи мы используем закон сохранения импульса и закон сохранения энергии.

Когда шарик врезается в клин и движется по его склону, система (шарик + клин) подчиняется закону сохранения моментов количества движений в горизонтальном направлении.

Обозначим скорость клина ( V ) после столкновения.

Согласуем начальный и конечный импульсы системы:

[
m v0 = m v{\text{sh}} + M V
]

где ( v_{\text{sh}} ) - скорость шарика в системе клина (после столкновения).

Когда шарик поднимается по клину, его скорость можно представить в проекции на направляющую, заданную углом ( \alpha ):

[
v_{\text{sh}} = v_x \cos(\alpha) + v_y \sin(\alpha)
]

где ( v_x ) – скорость вдоль оси x, а ( v_y ) – скорость вдоль оси y. Из-за отсутствия трения, только вертикальная компонента скорости шарика будет преобразована в потенциальную энергию.

Потенциальная энергия на высоте ( h ):

[
m g h = \frac{1}{2} mv_{\text{sh}}^2
]

Теперь можем выразить ( h ) в зависимости от ( v_{\text{sh}} ).

[
h = \frac{v_{\text{sh}}^2}{2g}
]

Случай ( M \to \infty ):
Клин «не движется», скорость клина стремится к нулю, вся энергия шарика превращается в потенциальную на высоте:

[
mgh = \frac{1}{2} mv_0^2 \implies h = \frac{v_0^2}{2g}
]

Случай ( M \to 0 ):
Клин «улетает» от шарика из-за маленькой массы. В этом случае шарик не теряет свою начальную скорость, и можно будет рассчитать новую высоту:

Так как теперь клин уходит, шарик движется по параболической траектории, и его высота будет также:

[
h = \frac{v_0^2 \sin^2(\alpha)}{2g}
]

Таким образом, maximum height ( h ) зависит от массы клина, и в крайних случаях можно получить следующие значения:

Эти результаты показывают, как масса клина влияет на максимальную высоту, на которую поднимается шарик.

Уравнение m v0 = m v_sh + M V записано некорректно. Во-первых, v_sh ("скорость шарика в системе клина") неясно определена. Во-вторых, это уравнение смешивает скорости в разных системах отсчета или в разные моменты времени без четкого определения. Представление v_sh через v_x и v_y неясно и не используется далее по существу. Утверждение про преобразование только вертикальной компоненты скорости в потенциальную энергию неверно в общем случае – закон сохранения энергии учитывает изменение полной кинетической энергии системы.

Уравнение m g h = 1/2 m v_sh^2 неверно