Для объяснения того, почему магнитное поле внутри соленоида почти однородно, а вне него быстро убывает, можно использовать законы Ампера и Био-Савара.

Закон Ампера

Закон Ампера гласит, что циркуляция магнитного поля ( \mathbf{B} ) по замкнутому контуру пропорциональна току ( I ), пронизывющему этот контур:

[
\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu0 I{\text{вн}}.
]

Где ( I_{\text{вн}} ) — это ток, проходящий через поверхность, ограниченную контуром, а ( \mu_0 ) — магнитная проницаемость вакуума.

Внутри соленоида

Внутри длинного соленоида, если мы проведем замкнутый контур, который проходит вдоль оси соленоида, магнитное поле в этом контуре практически однородно, так как оно в основном создается токами в обмотках соленоида. Мы можем писать:

[
\oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = B \cdot L,
]

где ( L ) — длина участка, по которому проходит контур. С другой стороны, ток, создающий магнитное поле, равен ( I_{\text{вн}} = n \cdot I ), где ( n ) — плотность тока (число витков на единицу длины). Это дает нам:

[
B \cdot L = \mu_0 n I \cdot L.
]

Отсюда получаем:

[
B = \mu_0 n I.
]

Этот результат показывает, что магнитное поле внутри длинного соленоида является почти однородным и зависит только от плотности витков и тока, проходящего через них.

Вне соленоида

С другой стороны, вне соленоида ситуация иная. Вне соленоида магнитные поля, создаваемые разными витками, частично компенсируются друг другом. Используя закон Био-Савара, который описывает, как отдельные токи создают магнитное поле в пространстве, можно увидеть, что contribution к полю вне соленоида от токовых витков уменьшается, поскольку поле от одного витка в значительной степени компенсируется полем другой катушки, расположенной на другой стороне соленоида.

Закон Био-Савара

Закон Био-Савара для элементарного тока ( I ) в элементе длины ( dl ) дает:

[
d\mathbf{B} = \frac{\mu_0 I}{4\pi} \frac{d\mathbf{l} \times \mathbf{r}}{r^3},
]

где ( \mathbf{r} ) — радиус-вектор от элемента тока до точки наблюдения, а ( r ) — расстояние от элемента до точки.

Поскольку поля, создаваемые токами, убывают с расстоянием (как ( 1/r^2 ) в общем случае), то с увеличением расстояния от соленоида магнитное поле быстро убывает.

Итог

Таким образом, магнитное поле внутри соленоида является почти однородным благодаря хорошо организованному распределению токов, создающих поле, в то время как вне соленоида оно быстро убывает из-за взаимной компенсации полей от различных витков катушки.