Движение тела по искривлённой поверхности с учётом силы трения и центростремительного ускорения можно проанализировать, рассматривая силы, действующие на тело, и условия, при которых оно может соскользнуть с поверхности.

Силы на тело: На тело действуют следующие силы:

Сила тяжести ( F_g = mg ), направленная вниз.Нормальная сила ( N ), перпендикулярная к поверхности.Сила трения ( F_{tr} = \mu N ), направленная по поверхности и против движения, где ( \mu ) — коэффициент трения.

Центростремительное ускорение: При движении по искривлённой поверхности у тела есть центростремительное ускорение ( a_c ), которое связано с радиусом кривизны ( R ) траектории и угловой скоростью ( \omega ) (или линейной скоростью ( v )):
[
a_c = \frac{v^2}{R}
]
Это ускорение направлено к центру кривизны.

Условия для соскальзывания: Тело начинает скользить по поверхности, если сила трения оказывается недостаточной для удержания его на поверхности. Условием для начала скольжения является:
[
F_{tr} < m a_c
]
Подставляя силу трения, получаем:
[
\mu N < \frac{mv^2}{R}
]
Нормальная сила ( N ) равна составляющей веса, направленной перпендикулярно поверхности. На наклонной поверхности (или при окружности) она может быть выражена как:
[
N = mg \cos(\theta)
]
где ( \theta ) — угол наклона.

Таким образом, итоговое условие можно переформулировать:
[
\mu mg \cos(\theta) < \frac{mv^2}{R}
]
Сокращая массу ( m ) (при ( m \neq 0 )), получаем:
[
\mu g \cos(\theta) < \frac{v^2}{R}
]
или:
[
v^2 > \mu g R \cos(\theta)
]

Вывод: Тело соскользнёт с поверхности, если скорость ( v ) будет превышать значение ( v{\text{крит}} ):
[
v{\text{крит}} = \sqrt{\mu g R \cos(\theta)}
]

Таким образом, чтобы предотвратить соскальзывание, необходимо контролировать скорость движения тела по искривлённой поверхности, а также учитывать угол наклона и коэффициент трения.