Кратко — ключевые закономерности, формулы и измеримые следствия.

1) Коэффициент пропускания.

Прямоугольный барьер высоты (V_0), ширины (a), частицы с энергией (E<V_0): точное решение даёт (один из видов записи)
[
T=\frac{1}{1+\dfrac{V_0^2\sinh^2(\kappa a)}{4E(V_0-E)}},\qquad
\kappa=\frac{\sqrt{2m(V_0-E)}}{\hbar}.
]
В пределе сильного поглощения (opaque barrier, (\kappa a\gg1)) основное поведение экспоненциально:
[
T\propto e^{-2\kappa a}.
]

Для произвольной формы барьера WKB-аппроксимация даёт
[
T\approx \exp!\left(-2\int_{x_1}^{x2}\kappa(x)\,dx\right),\qquad
\kappa(x)=\frac{\sqrt{2m\big(U(x)-E\big)}}{\hbar},
]
где (x{1,2}) — классические поворотные точки. Таким образом: ширина барьера входит в экспоненту как интеграл (\int\kappa(x)dx); форма (U(x)) меняет подынтегральную функцию и, следовательно, экспоненту и префактор.

Двойной барьер (квантовая яма) — резонансный туннелинг. Близко к резонансу (E_0) профиль похож на Брейт–Вигнер:
[
T(E)\approx\frac{(\Gamma/2)^2}{(E-E_0)^2+(\Gamma/2)^2},
]
где ширина резонанса (\Gamma=\Gamma_1+\Gamma_2) определяется прозрачностями барьеров; максимум (T\to1) возможен при совпадении уровней и симметрии.

2) Время туннелирования. Несколько определений, каждое полезно для разных экспериментов:

Временная задержка фазы (group/phase time)
[
\tau\phi=\hbar\frac{d\arg t(E)}{dE},
]
где (t(E)) — амплитуда прохождения. Для opaque барьера наблюдается эффект Хартмана: (\tau\phi) может насыщаться при увеличении (a) (не означает нарушение причинности).

Dwell-time (время пребывания в области)
[
\tauD=\int{x_1}^{x2}\frac{|\psi(x)|^2}{j{\rm in}}\,dx,
]
где (j_{\rm in}) — входящий поток.

Времена Лармора и другие (экспериментально измеримы через спин-процессинг). Для резонансов связь с шириной: жизнь уровня (\tau\sim\hbar/\Gamma) — это характерное время задержки внутри ямы.

3) Зависимость от формы и ширины (итоги).

Ширина (a): основное влияние через экспоненту — малое увеличение (a) резко уменьшает (T) (экспоненциальная чувствительность). Высота (V_0) (или профиль (U(x))): (\kappa\propto\sqrt{V_0-E}) ⇒ (T\sim\exp(-\text{const}\cdot\sqrt{V_0-E}\,a)). Плавные барьеры (треугольные, параболические) дают меньшую/большую эффективную экспоненту по сравнению с прямоугольными: форма меняет интеграл (\int\kappa dx) и префактор. Двойные барьеры дают резонансы: при совпадении энергии с уровнем в яме (T) может быть близок к 1 независимо от толщины внешних барьеров (но ширина резонанса падает при увеличении барьеров). Для сильных полей (поле-эмиссия) используется формула Фаулера–Нордгейма: тока через треугольный барьер (J\propto F^2\exp!\big(-\tfrac{4\sqrt{2m}\,\phi^{3/2}}{3\hbar eF}\big)), где (F) — поле, (\phi) — работа выхода.

4) Измеримые последствия для квантовых электронных приборов.

Ток/проводимость: туннельная вероятность напрямую определяет ток: (I\propto T). Экспоненциальная зависимость от размеров/высот делает ток очень чувствительным к флуктуациям ширины/высоты барьера (производственные допуски, шум). Резонансные туннельные диоды (RTD): наблюдаются узкие пиковые вкрапления тока (резонансы) и негативное дифференциальное сопротивление; ширина пиков (\sim\Gamma) связана с временем жизни (\tau\sim\hbar/\Gamma). Утечки в транзисторах (MOSFET): тонкие барьеры окиси дают существенные туннельные утечки, ограничивая масштабирование; ток утечки экспоненциально растёт при уменьшении толщины окиси. Когерентность и де-фазировка: форма барьеров и их неоднородности влияют на когерентные эффекты (интерференция, резонансы); температура и взаимодействия расширяют уровни (шире резонансы) и уменьшают (T) при резонансном режиме. Частотные и временные характеристики: время туннелирования и время жизни уровней ограничивают максимальную рабочую частоту и скорость переключения квантовых элементов; для резонансных схем (\tau\sim\hbar/\Gamma) даёт характерное время отклика. Шум и флуктуации: изменение прозрачности влияет на шум тока (шот-шум), на корреляции и на тепловые эффекты. Экспериментальные методы: измеряют (T(E)) через (I!-!V) и (dI/dV) (спектроскопия туннельного тока), ширины резонансов ((\Gamma)), время туннелирования через attosecond-пульсы, STM/STS, Larmor-clock эксперименты.

5) Практические рекомендации (коротко).

Для высокой пропускной способности: уменьшать интеграл (\int\kappa dx) (тоньше барьер, понижать высоту) или использовать резонансные структуры. Для уменьшения утечек: увеличивать эффективный интеграл (\int\kappa dx) (толще/выше барьер или более крутая профильная форма). Учесть, что экспоненциальная чувствительность делает устройство уязвимым к флуктуациям размеров и к температурному/электрич. шуму.

Если нужно, могу привести конкретные формулы для треугольного/параболического барьера или оценить численно (T) и (\tau) для заданных параметров.