Коротко — потому что электрическое и магнитное поля — не независимые физические величины, а компоненты одного тензора электромагнитного поля. При релятивистском бусте компоненты «перемешиваются», поэтому чисто электрическое поле в одной системе даёт сочетание электрического и магнитного полей в другой.

Математически: электромагнитное поле задаётся антисимметричным тензором (F^{\mu\nu}). При преобразовании Лоренца
[
F'^{\mu\nu}=\Lambda^\mu{}\alpha\,\Lambda^\nu{}\beta\,F^{\alpha\beta},
]
и это приводит к следующим формулами для векторов полей при бусте со скоростью (\mathbf{v}) (разбивая на компоненты параллельные и перпендикулярные (\mathbf{v})):
[
\mathbf{E}'{\parallel}=\mathbf{E}{\parallel},\qquad
\mathbf{B}'{\parallel}=\mathbf{B}{\parallel},
]
[
\mathbf{E}'{\perp}=\gamma(\mathbf{E}{\perp}+\mathbf{v}\times\mathbf{B}),\qquad
\mathbf{B}'{\perp}=\gamma\Big(\mathbf{B}{\perp}-\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}}{c^{2}}\Big),
]
где (\gamma=1/\sqrt{1-v^{2}/c^{2}}). Для заряда, покоящегося в исходной системе ((\mathbf{B}=0)), получаем
[
\mathbf{E}'{\parallel}=\mathbf{E}{\parallel},\qquad
\mathbf{E}'{\perp}=\gamma\mathbf{E}{\perp},\qquad
\mathbf{B}'=-\gamma\frac{\mathbf{v}\times\mathbf{E}}{c^{2}}.
]
Отсюда видно: в движущейся системе появляется магнитное поле пропорциональное (\mathbf{v}\times\mathbf{E}).

Практические следствия:

Сильное поперечное усиление полей у релятивистских зарядов: поперечная составляющая электрического поля возрастает примерно как (\gamma) («плоский» пучок поля), а соответствующее магнитное поле порядка (\sim\gamma vE/c^{2}). Это важно в ускорителях (фокусировка пучков, взбудораживание возмущений в среде, wake-fields).Силы на движущиеся заряды могут быть объяснены как магнитные в одной системе и как электрические в другой (пример: сила на пробный заряд рядом с проводом с током — в системе электронов возникает разность плотностей зарядов и электрическое поле).При измерениях с быстрыми частицами нужно учитывать преобразования плотности заряда и тока: 4-ток (J^\mu=(c\rho,\mathbf{J})) преобразуется так, что (\rho'=\gamma(\rho-\mathbf{v}\cdot\mathbf{J}/c^{2})). Это влияет на расчёт полей и сил в разных системах отсчёта.

Вывод: электрическое и магнитное поля — два лица единого тензора; наличие магнитного поля у движущегося наблюдателя — прямое следствие преобразований Лоренца и имеет конкретные последствия в экспериментах с релятивистскими зарядами.