Объясните физическую природу зонных структур в кристаллах: как периодическая потенциальная энергия приводит к появлению запрещённых зон, почему у одних материалов есть широкий запрещённый промежуток, а у других — узкий, и как химическое легирование изменяет концентрацию носителей и проводимость полупроводника?
1) Как периодическая потенциальная энергия даёт зонную структуру
В идеале свободный электрон имеет дисперсию (E(k)=\hbar^2 k^2/2m). В кристалле атомы создают периодический потенциал (V(\mathbf r)=V(\mathbf r+\mathbf R)). По теореме Блоха собственные состояния имеют вид (\psi{\mathbf k}(\mathbf r)=u{\mathbf k}(\mathbf r)e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}). При рассеянии на периодическом потенциале волны с волновыми векторами (\mathbf k) и (\mathbf k+\mathbf G) (где (\mathbf G) — вектор обратной решётки) смешиваются. На границах Бриллюэновой зоны выполняется условие браджа и возникает эффективное стоячее состояние, приводящее к расщеплению уровней энергии. В простейшей приближённой модели почти-свободного электрона ширина разрыва (энергетический зазор) при импульсе (\mathbf G) примерно равна [ \Delta E \approx 2|V{\mathbf G}|, ] где (V{\mathbf G}) — соответствующая фурье‑компонента периодического потенциала. То есть периодическая модуляция потенциала открывает запрещённые зоны между упорядоченными дисперсиями.
2) Почему у одних материалов большой зазор, у других малый
Сильность потенциала (величина (V{\mathbf G})). Чем сильнее модуляция потенциала (большая разница потенциалов на атомах, сильнее зарядовая неравномерность), тем больше (|V{\mathbf G}|) и тем шире зазор. Пример: ионные кристаллы имеют крупный разрыв. Перекрытие атомных орбиталей (в модели tight‑binding). Если перекрытие большое, электроны дельocalизованы, ширина зон (bandwidth) велика и зазоры могут быть малы; если перекрытие мало — узкие зоны и большие зазоры. В tight‑binding ширина зоны примерно (W\sim 2z|t|) (здесь (t) — интеграл перехода, (z) — координационное число). Энергетическая разница начальных атомных уровней (в соединениях из разных элементов) смещает зоны относительно друг друга и может увеличить зазор. Геометрия решётки и симметрия определяют, совпадают ли минимумы и максимумы зон в одном и том же k‑точке (прямой зазор) или в разных (косой/непрямой), что тоже влияет на оптические и электронные свойства.
3) Как легирование меняет концентрацию носителей и проводимость полупроводника
Доноры и акцепторы: примеси добавляют локальные уровни в запрещённой зоне. Донорные уровни располагаются близко к дну зоны проводимости (энергия ионизации донора мала), акцепторные — близко к верху валентной зоны. При термической ионизации электрон из донора попадает в зону проводимости, оставляя ион-рецептор; аналогично акцептор захватывает электрон из валентной зоны, создавая дырку. При слабом легировании (обычно «мелкие» примеси) концентрация свободных носителей примерно равна концентрации добавленных ионизированных примесей: для n‑типа (n\approx N_D) (при полном ионизации и отсутствии сильной компенсации). Общее соотношение (закон массового действия): [ np=n_i^2, ] где (n_i) — собственная (интринзик) концентрация носителей. Проводимость связана с концентрацией и подвижностью: [ \sigma = q(n\mu_n + p\mu_p), ] где (q) — элементарный заряд, (\mu_n,\mu_p) — подвижности электронов и дырок. Легирование увеличивает (n) или (p), а значит (\sigma) возрастает, пока подвижности не меняются существенно. Энергия ионизации примеси в эффективном‑массовой аппроксимации (водородоподобная) даётся [ E_D \approx \frac{m^}{m_0}\frac{1}{\varepsilon_r^2}\times 13.6\ \text{eV}, ] где (m^) — эффективная масса электрона, (\varepsilon_r) — диэлектрическая проницаемость. В полупроводниках (E_D) обычно мал (десятки меВ), поэтому примеси легко ионизуются при комнатной температуре. При очень сильном легировании могут наступать эффекты выродженности, образование импурити‑банка и значительное смещение уровня Ферми к краям зон.
Кратко: периодическая потенциальная модуляция нарушает свободноэлектронную дисперсию через рассеяние на векторах обратной решётки, что даёт энергетические разрывы; величина разрыва определяется амплитудой потенциальной модуляции и степенью перекрытия орбиталей; легирование вводит близкие к зонам уровни, и их ионизация увеличивает число свободных носителей, повышая проводимость согласно (\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)).
Коротко и по существу.
1) Как периодическая потенциальная энергия даёт зонную структуру
В идеале свободный электрон имеет дисперсию (E(k)=\hbar^2 k^2/2m). В кристалле атомы создают периодический потенциал (V(\mathbf r)=V(\mathbf r+\mathbf R)). По теореме Блоха собственные состояния имеют вид (\psi{\mathbf k}(\mathbf r)=u{\mathbf k}(\mathbf r)e^{i\mathbf k\cdot\mathbf r}). При рассеянии на периодическом потенциале волны с волновыми векторами (\mathbf k) и (\mathbf k+\mathbf G) (где (\mathbf G) — вектор обратной решётки) смешиваются. На границах Бриллюэновой зоны выполняется условие браджа и возникает эффективное стоячее состояние, приводящее к расщеплению уровней энергии. В простейшей приближённой модели почти-свободного электрона ширина разрыва (энергетический зазор) при импульсе (\mathbf G) примерно равна[
\Delta E \approx 2|V{\mathbf G}|,
]
где (V{\mathbf G}) — соответствующая фурье‑компонента периодического потенциала. То есть периодическая модуляция потенциала открывает запрещённые зоны между упорядоченными дисперсиями.
2) Почему у одних материалов большой зазор, у других малый
Сильность потенциала (величина (V{\mathbf G})). Чем сильнее модуляция потенциала (большая разница потенциалов на атомах, сильнее зарядовая неравномерность), тем больше (|V{\mathbf G}|) и тем шире зазор. Пример: ионные кристаллы имеют крупный разрыв. Перекрытие атомных орбиталей (в модели tight‑binding). Если перекрытие большое, электроны дельocalизованы, ширина зон (bandwidth) велика и зазоры могут быть малы; если перекрытие мало — узкие зоны и большие зазоры. В tight‑binding ширина зоны примерно (W\sim 2z|t|) (здесь (t) — интеграл перехода, (z) — координационное число). Энергетическая разница начальных атомных уровней (в соединениях из разных элементов) смещает зоны относительно друг друга и может увеличить зазор. Геометрия решётки и симметрия определяют, совпадают ли минимумы и максимумы зон в одном и том же k‑точке (прямой зазор) или в разных (косой/непрямой), что тоже влияет на оптические и электронные свойства.3) Как легирование меняет концентрацию носителей и проводимость полупроводника
Доноры и акцепторы: примеси добавляют локальные уровни в запрещённой зоне. Донорные уровни располагаются близко к дну зоны проводимости (энергия ионизации донора мала), акцепторные — близко к верху валентной зоны. При термической ионизации электрон из донора попадает в зону проводимости, оставляя ион-рецептор; аналогично акцептор захватывает электрон из валентной зоны, создавая дырку. При слабом легировании (обычно «мелкие» примеси) концентрация свободных носителей примерно равна концентрации добавленных ионизированных примесей: для n‑типа (n\approx N_D) (при полном ионизации и отсутствии сильной компенсации). Общее соотношение (закон массового действия):[
np=n_i^2,
]
где (n_i) — собственная (интринзик) концентрация носителей. Проводимость связана с концентрацией и подвижностью:
[
\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p),
]
где (q) — элементарный заряд, (\mu_n,\mu_p) — подвижности электронов и дырок. Легирование увеличивает (n) или (p), а значит (\sigma) возрастает, пока подвижности не меняются существенно. Энергия ионизации примеси в эффективном‑массовой аппроксимации (водородоподобная) даётся
[
E_D \approx \frac{m^}{m_0}\frac{1}{\varepsilon_r^2}\times 13.6\ \text{eV},
]
где (m^) — эффективная масса электрона, (\varepsilon_r) — диэлектрическая проницаемость. В полупроводниках (E_D) обычно мал (десятки меВ), поэтому примеси легко ионизуются при комнатной температуре. При очень сильном легировании могут наступать эффекты выродженности, образование импурити‑банка и значительное смещение уровня Ферми к краям зон.
Кратко: периодическая потенциальная модуляция нарушает свободноэлектронную дисперсию через рассеяние на векторах обратной решётки, что даёт энергетические разрывы; величина разрыва определяется амплитудой потенциальной модуляции и степенью перекрытия орбиталей; легирование вводит близкие к зонам уровни, и их ионизация увеличивает число свободных носителей, повышая проводимость согласно (\sigma = q(n\mu_n + p\mu_p)).