Коротко: при упругом столкновении одной шарики (масса $m_1$) жёстко направлена по окружности радиуса $R$, а вторая ($m_2$) — свободна, изменяются только компоненты скоростей вдоль линии импульса столкновения (для шаров — вдоль линии центров в момент удара). Поскольку трек оказывает радиальную реакцию, полная линейная импульса системы не сохраняется; вместо этого сохраняются кинетическая энергия (при идеальной упругости) и момент импульса относительно центра круга (если трек фиксирован и реакция проходит через этот центр, т.е. не даёт внешнего момента).
Основные соотношения (в проекции на направление взаимодействия — обычно касательная в точке соприкосновения с треком, если контакт симметричен):
- сохранение момента импульса вокруг центра круга (лева и право умножаются на $R$, поэтому можно опустить $R$):
$$m_1{u}_1+m_2{u}_2=m_1{v}_1+m_2{v}_2,$$ где $u_i$ — соответствующие проекции скоростей до удара, $v_i$ — после удара;
- сохранение кинетической энергии при упругом ударе (в тех же проекциях):
$$\frac{1}{2}{m}_1{u}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{u}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2.$$
Отсюда для одномерной проекции вдоль линии удара стандартные формулы упругого соударения:
$$v_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}{u}_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}{u}_2,v_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}{u}_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}{u}_2.$$
Последствия для траекторий и скоростей:
- Шар $m_1$, если он жёстко связан с треком, после удара остаётся на окружности, но с новой касательной скоростью $v_1$ и соответствующей угловой скоростью ${\omega }_1=v_1/R$.
- Свободный шар $m_2$ после удара получает новый вектор скорости: компоненту вдоль линии удара даёт приведённая формула, перпендикулярные компоненты (если были) остаются либо неизменными, либо изменяются по правилу удара в зависимости от геометрии; в общем случае траектория $m_2$ — кусок свободного движения (парабола при наличии гравитации) с начальным условием $v_2$.
- Если удар не центральный, к вышеприведённым формулам применяется проекция скоростей на направление линии центров; поперечные компоненты не меняются (при отсутствии трения).
О связи с неинерциальной системой:
- В системе, вращающейся вместе с $m_1$, появляются фиктивные силы (центробежная и кориолисова). Эти силы меняют вид уравнений движения, и поэтому «на глаз» ни линейный импульс, ни энергия не будут сохраняться без учёта работы и моментов этих фиктивных сил.
- Кориолисова сила перпендикулярна скорости и не выполняет работу, центробежная даёт эффективный потенциальный член $-\frac{1}{2}m{\omega }^2{r}^2$. Чтобы применить законы сохранения в неинерциальной системе, нужно включать вклады работы этих сил (или рассматривать полную энергию с добавленным «центробежным потенциалом») и дополнительно учитывать моменты от фиктивных сил.
- Проще и корректнее считать столкновение в инерциальной лабораторной системе: тогда упругость обеспечивает сохранение кинетической энергии системы шаров, а отсутствие внешнего момента относительно центра (реакция трека — радиальна) даёт сохранение момента импульса относительно этого центра; линейный импульс не сохраняется из‑за внешнего импульса от трека.
Итог: для практического определения скоростей и траекторий берут проекции скоростей на направление удара и применяют стандартные формулы упругого соударения (данные выше). При этом помнят, что линейный импульс всей системы не сохраняется из‑за реакции трека, а в неинерциальной (вращающейся) системе нужно вводить фиктивные силы и соответствующие поправки к законам сохранения.