1) Законы сохранения (в нерелятивистской форме для фотона и электрона, электрон может быть покоится):
- Сохранение энергии:
$$h\nu +m{c}^2=h{\nu }^{\prime }+\gamma m{c}^2$$ - Сохранение импульса (векторно):
$$\frac{h\nu }{c}\hat{k}=\frac{h{\nu }^{\prime }}{c}{\hat{k}}^{\prime }+\gamma m\mathbf{v}$$
2) Вывод зависимости сдвига длины волны. Классический короткий вывод через инвариантность квадратов 4-импульсов: применим сохранение 4-импульса и возведём в квадрат, исключив параметры электрона. Результат:
$${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta ),$$ где $\lambda =\frac{c}{\nu }$ и $\theta$ — угол между направлениями рассеянного и падающего фотона. Эквивалентные формы:
- через частоты:
$$\frac{1}{{\nu }^{\prime }}-\frac{1}{\nu }=\frac{h}{m{c}^2}(1-\cos \theta ).$$ - через энергии фотонов $E=h\nu$:
$$E^{\prime }=\frac{E}{1+\frac{E}{m{c}^2}(1-\cos \theta )}.$$ Замечание: постоянная $\frac{h}{mc}$ — комптоновская длина волны электрона.
3) Кросс‑секция (общая релятивистская форма — закон Клейна—Нишина):
$$\frac{d\sigma }{d\Omega }=\frac{r_0^2}{2}{\left(\frac{E^{\prime }}{E}\right)}^2\left(\frac{E^{\prime }}{E}+\frac{E}{E^{\prime }}-{\sin }^2\theta \right),$$ где $r_0=\frac{e^2}{m{c}^2}$ — классический радиус электрона. В пределе низких энергий $E\ll m{c}^2$ даёт формулу Томсона с ${\sigma }_T=\frac{8\pi }{3}{r}_0^2$.
4) Последствия для астрофизических наблюдений высокоэнергетического излучения (кратко, важное):
- Режимы:
- Thomson-режим: $E\ll m{c}^2$ — малый сдвиг энергии, частота почти не меняется, кросс‑секция ≈ ${\sigma }_T$.
- Klein–Nishina-режим: $E\gtrsim m{c}^2$ ($m{c}^2\approx 511\mathrm{keV}$) — выраженный эффект отдачи, уменьшение кросс‑секции и анизотропия рассеяния.
- Комптоновская перегонка (Comptonization): многократные рассеяния на тепловых электронах приводят к перекомпоновке спектра (смещение мягких фотонов в X‑ray/γ, формирование плоского степенного хвоста). Параметр Комптона для тепловых электронов:
$$y\simeq \frac{4kT}{m{c}^2}\max (\tau ,{\tau }^2),$$ где $\tau =n_e{\sigma }_{T}L$ — оптическая толщина; $y\gtrsim 1$ — сильная комтоновизация.
- Обратный эффект (инверсный Комптон): релятивистические электроны в джетах/пульсарах поднимают низкоэнергетические фотоны (например, СМВ) до X/γ‑энергий — источник высокоэнергетического излучения у AGN, SNR, гамма‑лучевых источников.
- Сдвиг и уширение линий: рассеяние линий (напр., Fe Kα) даёт «комптоновое плечо» и уширение; полезно для диагностики плотности и температуры среды.
- Эффекты на СМВ и кластеров: Солнеево‑Зельдовичевский (SZ) эффект — искажение спектра СМВ из‑за инверсного Комптона на горячих электронах внутрикластерного газа; наблюдаем как дефицит/избыток интенсивности в разных диапазонах частот.
- Поляризация и временные задержки: комптоновское рассеяние может поляризовать излучение и изменять временные профили (многократные рассеяния дают задержки и сглаживание переменности).
- Энергетическая эвакуация электронов (комптоновское охлаждение): важна для термальных балансов плазмы в аккреционных коронах и джетах.
- Наблюдательные следствия: формирование непрерывных степенных спектров в X‑ray/γ, энергетические срезы и cutoff при высоких энергиях из‑за KN‑эффекта, изменение спектральных линий (комптоновские плечи), SZ‑сигнатуры для кластеров, и вклад в космический рентгеновский/гамма‑фон.
Коротко: формула сдвига длины волны ${\lambda }^{\prime }-\lambda =\frac{h}{mc}(1-\cos \theta )$ является основой; для интерпретации астрофизических спектров важны режим (Thomson vs Klein–Nishina), оптическая толщина $\tau$, параметр $y$ и роль релятивистических электронов (инверсный Комптон, SZ, компрессия линий, поляризация, охлаждение).