Кратко — суть различия. Энергия, запасённая в поле, — это функция состояния полей/элементных переменных в данный момент; для распределённого поля
$$W_{\text{field}}=\frac{1}{2}\int (\epsilon E^2+\frac{1}{\mu }{B}^2)dV.$$ Для сосредоточенных линейных элементов
$$W_C=\frac{Q^2}{2C}=\frac{1}{2}C{V}^2,W_L=\frac{1}{2}L{I}^2.$$ Работа источников при изменении конфигурации зависит от траектории процесса: источники выполняют (или принимают) работу, равную изменению энергии поля плюс потери/выданную механическую работу:
$$\delta W_{\text{src}}=d{W}_{\text{field}}+\delta W_{\text{diss}}+\delta W_{\text{mech}}.$$ Таким образом запасённая энергия — состояние (однозначно задаётся $Q$ или $I$ и параметрами $C,L$), а работа источников — в общем случае путь-зависима.
Полезные дифференциальные соотношения и случаи:
- Для конденсатора электрическая работа при подаче малого заряда $dQ$:
$$\delta W_{\text{el}}=VdQ=\frac{Q}{C}dQ,$$ а при изменении ёмкости при фиксированном заряде $Q$ $$d{W}_C=-\frac{Q^2}{2C^2}dC=\frac{1}{2}(-\frac{Q^2}{C^2})dC,$$ при фиксированном напряжении $V$ $$d{W}_C=\frac{1}{2}{V}^{2}dC.$$ - Для катушки (индуктивности) полная дифференциальная энергия
$$d{W}_L=\frac{1}{2}{I}^{2}dL+LIdI.$$ При фиксированном $L$: $d{W}_L=LIdI$; при фиксированном $I$: $d{W}_L=\frac{1}{2}{I}^{2}dL$.
О закрытых циклах — когда вклад ёмкости и индуктивности явен:
- Общая формула работы за цикл в электрической переменной форме:
$$W_{\text{cycle}}=\oint VdQ.$$ Если зависимость $V(Q)$ однозначна и параметр $C$ постоянен, интеграл равен нул. Но если в процессе меняется геометрия/параметр $C$, контур в плоскости $(Q,V)$ может иметь ненулевую площадь — тогда есть чистая по́лученная или потраченная работа (электростатический двигатель).
Примеры:
1) Переменное $C$ (электростатический двигатель). Последовательность: зарядить на батарее (заряд $Q$), отключить, сократить расстояние между пластинами (уменьшить $C$). При фиксированном $Q$ энергия поля меняется:
$$\Delta W_C=\frac{Q^2}{2}(\frac{1}{C_f}-\frac{1}{C_i}).$$ Если $C_f<C_i$, $\Delta W_C<0$ — разность выдается как механическая работа. Если тот же процесс делать при подключённой батарее (фиксирован $V$), работа и обмен энергии будут другими: $\Delta W=\frac{1}{2}{V}^2(C_f-C_i)$. Замкнутый цикл «зарядка при одном $C$, изменение $C$, разрядка/перезарядка» даёт нетривиальную механическую работу — виден вклад ёмкости.
2) Соединение двух конденсаторов (перераспределение заряда). Пусть $C_1$ заряжен до $V_1$, $C_2$ до $V_2$, затем их соединяют: конечная энергия поля меньше суммы начальных, разность рассеивается (или уходит в излучение). Это показывает, что изменение конфигурации проводников/соединений приводит к работе/теплопревращению, не равной просто разности хранимых состояний.
3) Переменная индуктивность (механическая работа с сердечником). При постоянном токе $I$ выдвижение сердечника, меняющее $L$, даёт изменение энергии
$$\Delta W_L=\frac{1}{2}{I}^2\Delta L,$$ что соответствует механической работе. В цикле, где меняют $L$ и $I$ (например, поддерживают ток источником между шагами), возможен нетривиальный выход работы — принцип электромеханического преобразования (генераторы/моторы на основе переменной индуктивности).
4) Идеальный LC-резонатор. В замкнутом идеальном LC-цикле (без изменения $L,C$ и без потерь) энергия просто переходит из электрической формы в магнитную и обратно; суммарная энергия постоянна и внешние источники не выполняют работу: вклад L и C виден как обмен энергии, но суммарного выхода нет.
Коротко о графическом виде: вклад элементов проявляется как площадь в соответствующих «термодинамических» диаграммах — для ёмкости в $(Q,V)$-плоскости $W_{\text{cycle}}=\oint VdQ$, для индуктивности в $(\Phi ,I)$-плоскости $W_{\text{cycle}}=\oint Id\Phi$ (при линейной связи $\Phi =LI$ это превращается в интегралы с участием $L$, которые нулевы только если $L$ не меняется).
Итого: энергия в поле — состояние; работа источников — путь. Вклад ёмкости и индуктивности в работу становится явным, когда меняются параметры $C$ или $L$ (геометрия, взаимная индуктивность) или при перераспределении зарядов/токов — тогда закрытые циклы дают ненулевую механическую/электрическую работу, равную соответствующей площади в $\oint VdQ$ или $\oint Id\Phi$.