Кратко и по шагам.
Предположения и обозначения: прямоугольный виток размеров $w$ (вдоль x) и $h$ (вдоль y) движется со скоростью $\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{x}}$ в область неоднородного магнитного поля $\mathbf{B}(\mathbf{r})$ (ориентация выбранная вдоль $z$). Пусть в любой момент часть площади $S(t)$ витка находится в поле. Сопротивление витка $R$.
1) Индуцированное ЭДС и направление тока
- Общее выражение для ЭДС (закон Фарадея при движущейся границе):
$$\mathcal{E}=-\frac{d\Phi }{dt},\Phi (t)={\int }_{S(t)}\mathbf{B}\cdot d\mathbf{A}.$$ - Если граница изменения площадью обусловлена сдвигом одного края по $x$, то по правилу Лейбница
$$\mathcal{E}=-hB(x_{\mathrm{edge}}){\dot{x}}_{\mathrm{edge}}=-hB(x_{\mathrm{edge}})v,$$ (для стационарного $\mathbf{B}(x)$), где $h$ — высота витка, $x_{\mathrm{edge}}$ — координата входящего/выходящего края.
- Ток:
$$I=\frac{\mathcal{E}}{R}=-\frac{1}{R}\frac{d\Phi }{dt}.$$ - Направление тока — по закону Ленца: ток таков, чтобы создаваемое им магнитное поле противодействовало изменению потока. Практически: если поток в область увеличивается (виток входит в поле, $\dot{\Phi }>0$), индуцированный поток направлен противоположно внешнему, и ток даётся правилом правой руки (например, при внешнем $\mathbf{B}$ «входящем» в страницу индуцированный ток будет против часовой).
2) Магнитные силы и моменты
- Сила на элемент провода:
$$d\mathbf{F}=Id\mathbf{l}\times \mathbf{B}.$$ - Для прямоугольного витка основные силы действуют на вертикальные стороны длины $h$. Если одна сторона полностью в поле $B(x_{\mathrm{s}})$ и другая вне поля, сила на той стороне:
$$\mathbf{F}=Ih\hat{\mathbf{l}}\times \mathbf{B},$$ векторно: при $\hat{\mathbf{l}}=\pm \hat{\mathbf{y}}$ и $\mathbf{B}=B\hat{\mathbf{z}}$ сила будет горизонтальна $\pm IhB\hat{\mathbf{x}}$.
- Если обе стороны частично в поле с разным $B$, суммарная сила:
$${\mathbf{F}}_{\mathrm{net}}=I{\int }_{\mathrm{left}}d\mathbf{l}\times \mathbf{B}+I{\int }_{\mathrm{right}}d\mathbf{l}\times \mathbf{B}.$$ - Момент силы относительно центра витка:
$$\mathbf{M}=\int \mathbf{r}\times d\mathbf{F}=I\int \mathbf{r}\times (d\mathbf{l}\times \mathbf{B}).$$ В простых случаях (симметрия) возникает чистая сила, противящаяся поступательному движению, и/или момент, стремящийся повернуть виток (когда поля на стороны различаются по величине или направлению).
3) Баланс энергий: связь потерь механической энергии и работы электрического поля
- Мощность джоулевых потерь:
$$P_{\mathrm{Joule}}=I^{2}R=\frac{{\mathcal{E}}^2}{R}.$$ - Мощность магнитной силы (механическая работа в единицу времени), действующая против движения:
$$P_{\mathrm{mech}}=-{\mathbf{F}}_{\mathrm{net}}\cdot \mathbf{v}.$$ Для описанной мотионной ситуации (сила, противодействующая движению) имеет место равенство
$$-{\mathbf{F}}_{\mathrm{net}}\cdot \mathbf{v}=I\mathcal{E}=I^{2}R.$$ Знак показывает, что магнитные силы забирают у движущегося витка механическую энергию; сторонняя сила, двигающая виток со скоростью $v$, должна совершать работу $P_{\mathrm{ext}}=I^{2}R$, которая полностью переходит в тепло.
- Более формально работа электрического поля в проводнике:
$$P_{\mathrm{elec}}=\int \mathbf{J}\cdot \mathbf{E}dV=-I\mathcal{E},$$ и с учётом выбранных знаков даёт ту же связь между потерями механической энергии и джоулевым нагревом.
Итого — алгоритм расчёта: вычислить $\Phi (t)$ (учитывая неоднородность $B(x,y)$), найти $\mathcal{E}=-\dot{\Phi }$ и $I=\mathcal{E}/R$; затем найти силы по $I\int d\mathbf{l}\times \mathbf{B}$ и моменты по $\mathbf{M}=I\int \mathbf{r}\times (d\mathbf{l}\times \mathbf{B})$; проверить энергобаланс через $P_{\mathrm{mech}}=-\mathbf{F}\cdot \mathbf{v}=I\mathcal{E}=I^{2}R$.