Модель и основные определения. Рассмотрим состояние частицы + «маркер пути» (окружение)
$$|\Psi ⟩=c_1|1⟩|E_1⟩+c_2|2⟩|E_2⟩.$$ После усреднения по маркеру частица описывается матрицей плотности с внедиагональным элементом ${\rho }_{12}=c_1{c}_2^{\ast }⟨E_2|E_1⟩$. Контраст интерференции (видимость фринжей) обычно определяется как
$$V=\frac{I_{\max }-I_{\min }}{I_{\max }+I_{\min }}\Rightarrow V\propto 2|{\rho }_{12}|.$$ При сбалансированных амплитудах $c_1=c_2=1/\sqrt{2}$ даёт
$$V=|⟨E_1|E_2⟩|.$$
Квантово-информационная мера различимости пути. Оптимальная различимость (distinguishability) путей определяется через трассовое расстояние между состояниями маркера:
$$D=\frac{1}{2}\Vert {\rho }_E^{(1)}-{\rho }_E^{(2)}{\Vert }_1,$$ и для чистых $|E_{1,2}⟩$ и равных весов даёт
$$D=\sqrt{1-|⟨E_1|E_2⟩{|}^2}.$$ Связь Видимость–Информация (Энглерт). Ключевое количественное выражение дополняемости — неравенство Энглерта
$$D^2+V^2\le 1,$$ при чистых маркерах и равных амплитудах оно превращается в равенство
$$D^2+V^2=1.$$ Аналогично для предсказуемости путей (predictability) $P=||c_1{|}^2-|c_2{|}^2|$ справедливо
$$P^2+V^2\le 1,$$ что учитывает априорную информацию о пути без взаимодействия с детектором.
Декогеренция как механизм ослабления видимости. Взаимодействие с окружением приводит к уменьшению перекрыва $\gamma (t)=⟨E_1(t)|E_2(t)⟩$. Тогда внедиагонали частицы затухают:
$${\rho }_{12}(t)={\rho }_{12}(0)\gamma (t),V(t)\propto |\gamma (t)|.$$ В часто встречающемся марковском приближении с экспоненциальной потерей когерентности
$$\gamma (t)=e^{-\Gamma t}\Rightarrow V(t)=V(0)e^{-\Gamma t},$$ а различимость пути растёт по закону, согласованному с $D^2+V^2\le 1$. Таким образом декогеренция даёт динамический механизм перехода от когерентной суперпозиции (высокая $V$) к статистической смеси (высокая $D$).
Современные формализации и информационные подходы. В рамках теории декогеренции (Zurek) важна роль энтропии и энтанглемента: потеря видимости эквивалентна переносu квантовой информации о фазе в окружение. В ресурсной теории когерентности (Baumgratz–Cramer–Plenio) видимость связана с нормой $l_1$-когерентности
$$C_{l1}=2|{\rho }_{12}|\propto V,$$ а информационная способность распознавания пути ограничена квантовыми пределами: оптимальная вероятность успеха при минимальной ошибке при различении двух маркерных состояний равна $(1+D)/2$, а доступная информация ограничена Хоуловом-блохом (Holevo) и связана с энтропийными величинами маркера.
Короткое резюме. Количественные соотношения между контрастом интерференции и информацией о пути формулируются через $V$ и $D$ и выражаются неравенством
$$D^2+V^2\le 1,$$ (при ряде реализаций — равенством). Декогеренция уменьшает перекрывы маркерных состояний $⟨E_1|E_2⟩$, тем самым экспоненциально подавляя $V$ и увеличивая $D$, что даёт динамическое объяснение принципа дополняемости.