Методы анализа
- Законы сохранения (импульса и кинетической энергии): записать в векторной форме
$m_1{\mathbf{v}}_1+m_2{\mathbf{v}}_2=m_1{\mathbf{v}}_1^{\prime }+m_2{\mathbf{v}}_2^{\prime }$ и
$\frac{1}{2}{m}_1|{\mathbf{v}}_1{|}^2+\frac{1}{2}{m}_2|{\mathbf{v}}_2{|}^2=\frac{1}{2}{m}_1|{\mathbf{v}}_1^{\prime }{|}^2+\frac{1}{2}{m}_2|{\mathbf{v}}_2^{\prime }{|}^2$.
- Система центра масс (ЦМ): перейти в координаты ЦМ, где суммарный импульс $=0$. В ЦМ упругое столкновение — поворот/отражение вектора относительной скорости, что упрощает вычисления распределения энергий.
- Разложение на нормальную и тангенциальную составляющие относительно линии центров в точке контакта: нормальная компонента изменяется по формулам одномерного столкновения, тангенциальная остаётся неизменной (при отсутствии трения/вихревых моментов).
- Импульсный метод: найти импульс $J$ вдоль нормали и затем изменения скоростей $m_i({\mathbf{v}}_i^{\prime }-{\mathbf{v}}_i)=\pm J\mathbf{n}$.
- Матричный/линейно-алгебраический подход: представить преобразование скоростей как отражение относительной скорости вдоль нормали (полезно при численных расчётах и для общего геометрического разбора).
Ключевые формулы (разложение и одномерный результат вдоль нормали)
- Разложим ${\mathbf{v}}_i={\mathbf{v}}_{i\perp }+({\mathbf{v}}_i\cdot \mathbf{n})\mathbf{n}$, где $\mathbf{n}$ — единичный вектор вдоль линии центров в момент удара.
- Обозначим нормальные скоростные проекции $u_1={\mathbf{v}}_1\cdot \mathbf{n}$, $u_2={\mathbf{v}}_2\cdot \mathbf{n}$. Тогда при упругом столкновении (вдоль нормали)
$$u_1^{\prime }=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}{u}_1+\frac{2m_2}{m_1+m_2}{u}_2,u_2^{\prime }=\frac{2m_1}{m_1+m_2}{u}_1+\frac{m_2-m_1}{m_1+m_2}{u}_2.$$ - Тангенциальные компоненты не меняются: ${\mathbf{v}}_{i\perp }^{\prime }={\mathbf{v}}_{i\perp }$.
- Полные финальные скорости: ${\mathbf{v}}_i^{\prime }={\mathbf{v}}_{i\perp }+u_i^{\prime }\mathbf{n}$.
- Импульс по нормали (модуль): J=∣ m1(u1′−u1) ∣=2m1m2m1+m2∣u1−u2∣J=\big|\;m_1(u_1'-u_1)\;\big|=\dfrac{2m_1m_2}{m_1+m_2}|u_1-u_2|J= m1 (u1′ −u1 ) =m1 +m2 2m1 m2 ∣u1 −u2 ∣.
- Кинетические энергии: $K_i=\frac{1}{2}{m}_i|{\mathbf{v}}_i{|}^2$, $K_i^{\prime }=\frac{1}{2}{m}_i|{\mathbf{v}}_i^{\prime }{|}^2=\frac{1}{2}{m}_i(|{\mathbf{v}}_{i\perp }{|}^2+{u_i^{\prime }}^2)$.
Когда перераспределение будет «равномерным» или «неравномерным»
- Основной фактор — соотношение масс $m_1:m_2$. Если массы равны ($m_1=m_2$), нормальные компоненты скоростей просто обмениваются, что даёт симметрию и часто сильное перераспределение энергии между телами (вплоть до полного «переноса» кинетической энергии при лобовом ударе с неподвижным вторым телом). При большой разнице масс ($m_2\gg m_1$ или наоборот) тяжёлое тело мало изменяет скорость, и энергия остаётся преимущественно у лёгкого тела — распределение неравномерно.
- Угол удара / параметр сдвига (impact parameter): при центральном (лобовом) ударе нормальная часть велика → большая передача энергии. При скользящем (большой тангенциальной составляющей) большая часть кинетической энергии остаётся в неизменной тангенциальной компоненте, поэтому передача нормальной энергии меньше.
- Начальные скорости и направление: важна нормальная относительная скорость $u_1-u_2$. Чем больше её модуль, тем больше энергия, доступная для перераспределения между телами.
- Система центра масс: в ЦМ скорости частиц по модулю в упругом столкновении не меняются (т.е. их кинетические энергии в ЦМ остаются теми же), поэтому видимое перераспределение энергий в лабораторной системе определяется сочетанием скоростей в ЦМ и разными массами — это источник асимметрии.
- Частные случаи:
- $m_1=m_2$, $v_2=0$, лобовой удар: полная замена скоростей → энергия полностью переходит от одного тела к другому.
- $m_2\gg m_1$: лёгкая частица почти отражается, тяжёлая почти не меняет скорость → энергия остаётся у лёгкой частицы.
- При эквидистантных начальных условиях и симметрии (равные массы, зеркальные направления) перераспределение выглядит «равномернее».
Практически: для конкретных чисел и углов используйте разложение на нормаль и тангенс + приведённые формулы для $u_i^{\prime }$ и затем вычислите $K_i^{\prime }$. Это даёт полную картину распределения энергии после упругого столкновения.