Кратко и по делу — основные точки и решения.
1) Излучаемая мощность (не-рел.) и её релятивистский вариант:
$P_{\text{Larmor}}=\frac{2}{3}\frac{q^2{\dot{\mathbf{v}}}^2}{c^3}.$
Релятивистский Лiénard:
$$P=\frac{2}{3}\frac{q^2}{c^3}{\gamma }^6({\dot{\mathbf{v}}}^2-(\mathbf{v}\times \dot{\mathbf{v}}{)}^2/c^2).$$
2) Уравнение движения с само‑силой (Абрама–Лоренца, нерел., и Абрам–Лоренц–Дирак, релятивистски):
нерел.: ${\mathbf{F}}_{\text{rad}}=\frac{2}{3}\frac{q^2}{c^3}\ddot{\mathbf{v}}.$
релятив.: в ковариантной форме
$$m{a}^{\mu }=F_{\text{ext}}^{\mu }+{\tau }_0({\dot{a}}^{\mu }-\frac{a^2}{c^2}{u}^{\mu }),{\tau }_0=\frac{2q^2}{3m{c}^3}.$$
3) Главные парадоксы
- Разрыв между Лармором и локальной само‑силой: уравнение с $\ddot{\mathbf{v}}$ даёт «радиационную» работу, которая не равна мгновенной $P$. Это разрешается введением «связной» (Schott) энергии связанного поля: при умножении уравнения на $\mathbf{v}$ получаем баланс
$${\mathbf{F}}_{\text{ext}}\cdot \mathbf{v}=\frac{d}{dt}(\frac{1}{2}m{v}^2+E_{\text{Schott}})+P,$$ где (нерел.)
$$E_{\text{Schott}}=\frac{2}{3}\frac{q^2}{c^3}\mathbf{v}\cdot \dot{\mathbf{v}}.$$ То есть внешняя сила расходует энергию не только на излучение, но и на изменение энергии связанного поля; разница снимает кажущееся несоответствие (например, при равномерном ускорении само‑сила может быть нулевой, а $P\ne 0$ — энергия поставляется за счёт изменения связанного поля и/или граничных условий).
- «Бегающие» решения (runaways): уравнение с третьей производной дает экспоненциально растущие решения при отсутствии внешней силы.
- Преакселерация (pre‑acceleration): физическое решение уравнения показывает ускорение до включения внешней силы — конфликт с причинностью, если ставить начальные условия напрямую.
4) Истоки проблем и их устранение
- Сингулярное собственное поле частицы требует ренормировки массы: $m_{\text{obs}}=m_{\text{bare}}+m_{\text{em}}$ с бесконечно большой $m_{\text{em}}$ — после регуляризации остаётся конечное уравнение с ${\tau }_0$. Это даёт ALD, но не избавляет от патологий.
- Dirac: разложение отталкивающего поля на сингулярную (четверть суммы от ретардированного и авансированного) и регулярную часть; регулярная часть даёт конечную само‑силу (ALD). Правильный физический выбор граничных условий (нет входящей излучённой волны из бесконечности) исключает часть некорректных решений, но не полностью устраняет преакселерацию.
- Редукция порядка (Landau–Lifshitz): заменить $\ddot{\mathbf{v}}$ выражением через внешнюю силу, считая ${\tau }_0$ малым, и отбросить высшие по порядку члены; получается уравнение без третьей производной, свободное от runaway и с разумной причинностью:
$$m{\dot{u}}^{\mu }=F_{\text{ext}}^{\mu }+{\tau }_0(\frac{d{F}_{\text{ext}}^{\mu }}{d\tau }-\frac{u^{\mu }}{c^2}{F}_{\text{ext}}\cdot a),$$ что дает практически корректную динамику при ${\tau }_0\ll$ характерного времени изменения внешней силы.
- Теории с отставшими/продвинутыми потенциалами и поглотителем: Wheeler–Feynman (time‑symmetric) показывает, что при полном поглощении вселенной реакция рассеивателя воспроизводит локальную силу рассеяния, исключая необходимость самодействия; это формально устраняет само‑силу, но требует специальных глобальных условий (абсорбер).
- Современные методы (EFT, matched asymptotics, Gralla–Harte–Wald и др.): систематическая интеграция излучательных мод гранично‑регуляризованно даёт диссипативные и «tail» (не‑локальные по времени) члены; это ясно показывает, какие приближения допустимы и как учитывать ретроспективные эффекты (особенно в кривом пространстве‑времени).
5) Краткое резюме практических выводов
- Энергетический баланс корректен, если включить Schott (связанную) энергию; кажущийся конфликт Лармора и локальной само‑силы — проблема трактовки мгновенных членов и граничных условий.
- Для практических задач используют редуцированное (Landau–Lifshitz) уравнение — хорошо себя ведёт при ${\tau }_0$ малом.
- Полное классическое описание требует аккуратной регуляризации и адекватных граничных условий; при микроскопических масштабах единственное безпроблемное решение — переход к квантовой теории (QED), где многие классические парадоксы исчезают или получают другое объяснение.
Если нужно, могу коротко вывести баланс энергии с показом перехода от ${\mathbf{F}}_{\text{rad}}\cdot \mathbf{v}$ к $P$ и $E_{\text{Schott}}$, либо привести явную форма‑Версию уравнения Landau–Lifshitz в нерелятивистском виде.