Альфа‑распад рассматривается как квантовый туннелинг α‑частицы через потенциальный барьер, который образует внутриядерная сильная связывающая ядерная яма и внешнее кулоновское отталкивание. Коротко по пунктам.
1) Распадная константа и вероятность туннелинга
- Частота столкновений (assault frequency) внутри ядра: $\nu$ (порядка $10^{20}-10^{22}{\mathrm{s}}^{-1}$).
- Вероятность прохождения барьера (WKB):
$$P=\exp \left(-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr\right),\kappa (r)=\sqrt{\frac{2\mu }{{\hslash }^2}(V(r)-E)}$$ где $\mu$ — редуцированная масса α+остаток, $E$ — энергия α (энергия выхода), $r_1,r_2$ — классические точки разворота (решения $V(r)=E$).
- Распадная константа и время жизни:
$$\lambda =\nu P\Rightarrow T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }.$$
2) Как форма и высота барьера влияют на времена жизни
- Высота барьера (внешний кулоновский пик) и ширина между $r_1$ и $r_2$ определяют интеграл в показателе; чем выше и шире барьер, тем больше интеграл и тем экспоненциально меньше $P$ (то есть длиннее $T_{1/2}$).
- Кулоновский вклад примерно $V_C(r)\propto \frac{2Z_d{e}^2}{r}$ ( $Z_d$ — заряд дочернего ядра), из‑за этого при большем $Z_d$ барьер выше и шире.
- Внутренняя часть потенциальной ямы (радиус и глубина) задаёт $r_1$ и частоту $\nu$: больший ядерный радиус уменьшает ширину барьера и увеличивает $\nu$, что немного сокращает время жизни.
- Если у α‑частицы есть орбитальный момент $l$, вхóдит центробежный барьер $\propto l(l+1)/r^2$, что дополнительно увеличивает интеграл и удлиняет жизнь.
3) Приближение Гамау (Gamow) и связь с законом Гейгера–Нэттла
- Для доминирующего кулоновского барьера WKB‑интеграл даёт экспоненциальную зависимость через скорость $v=\sqrt{2E/\mu }$:
$$P\sim \exp \left(-\frac{2\pi Z_d{e}^2}{\hslash v}\right)=\exp \left(-2\pi Z_d{e}^2\sqrt{\frac{\mu }{2}}\frac{1}{\hslash \sqrt{E}}\right).$$ - Отсюда логарифм распадной константы (и полужизни) пропорционален $-Z_d/\sqrt{E}$. В практической форме (экспериментальная зависимость) получают закон Гейгера–Нэттла:
$${\log }_{10}{T}_{1/2}=a\frac{Z_d}{\sqrt{E_{\alpha }}}+b,$$ где $a,b$ — эмпирические константы для данной семейства изотопов, $E_{\alpha }$ — энергия альфа‑частицы в МэВ. Это следует прямо из экспоненциальной чувствительности туннельного фактора к $1/\sqrt{E}$.
4) Тонкие моменты и отклонения
- Предобразовательность α‑кластера внутри ядра $S$ (вероятность того, что α уже сформирована внутри ядра) вводится как множитель: $\lambda =S\nu P$. Она меняет абсолютные значения полуживых, но не устраняет экспоненциальную зависимость от $Z_d/\sqrt{E}$.
- Отклонения от линейности в законе Гейгера–Нэттла возникают из‑за изменения $S$, центробежного вклада при $l\ne 0$, тонкой структуры ядерного потенциала и парных/магнитных эффектов.
Вывод: высота и форма потенциального барьера задают через WKB‑интеграл экспоненциальную вероятность туннелинга, поэтому малая разница в энергии или заряде приводит к огромным изменениям во времени жизни; эта экспоненциальная зависимость даёт эмпирическую линейную связь $\log T_{1/2}\propto Z/\sqrt{E_{\alpha }}$, которую и описывает закон Гейгера–Нэттла (с поправками от предобразовательности и центробежного барьера).