Уравнения траекторий лучей
- Полная волновая формулировка (временно-гармоническая) — уравнение Гельмгольца:
$${\nabla }^{2}E+k_0^2{n}^2(\mathbf{r})E=0,k_0=\frac{2\pi }{{\lambda }_0}.$$ - При допущении геометрической оптики (вариация $n(\mathbf{r})$ медленнее длины волны) вводят фазу $S(\mathbf{r})$ и получают уравнение эйконала:
$$|\nabla S(\mathbf{r}){|}^2=n^2(\mathbf{r}).$$ Лучи — линии нормали к поверхностям постоянной фазы. Параметризуя луч по длине $s$ и обозначив единичный касательный вектор $\mathbf{u}=\frac{d\mathbf{r}}{ds}$, получают уравнение луча (из принципа Ферма / вариации):
$$\frac{d}{ds}(n(\mathbf{r})\mathbf{u})=\nabla n(\mathbf{r}).$$ Эквивалентно (разворачивая):
$$n(\mathbf{r})\frac{d^2\mathbf{r}}{d{s}^2}+\frac{dn}{ds}\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\nabla n(\mathbf{r}).$$ - Гамильтонова запись (удобна для численного трассирования):
$$H(\mathbf{r},\mathbf{k})=\frac{1}{2}(|\mathbf{k}{|}^2-n^2(\mathbf{r}))=0,\frac{d\mathbf{r}}{ds}={\nabla }_{\mathbf{k}}H=\mathbf{k},\frac{d\mathbf{k}}{ds}=-{\nabla }_{\mathbf{r}}H=\frac{1}{2}\nabla n^2(\mathbf{r}).$$ - Частный случай осесимметричного градиента (параболический профиль GRIN):
$$n(r)=n_0(1-\frac{1}{2}{g}^2{r}^2+\dots )$$ в параксиальном приближении даёт уравнение гармонического осциллятора для поперечной координаты (вдоль оси $z$):
$$\frac{d^{2}r}{d{z}^2}+g^{2}r=0,$$ решение — синусоидальные траектории; период (pitch) равен
$$\Lambda =\frac{2\pi }{g}.$$
Связь локального показателя преломления с распределением материала
- В макроскопическом приближении показатель связан с поляризуемостью и концентрацией микрочастиц. Базовая запись (Лоренц–Лоренц / Клаузиус–Моссотти):
$$\frac{n^2-1}{n^2+2}=\frac{4\pi }{3}N\alpha ,$$ где $N(\mathbf{r})$ — число диполей на единицу объёма (пропорционально плотности/концентрации), $\alpha$ — их поляризуемость.
- Для смешанных/композитных сред применяют эффективные формулы (упрощённо):
- Линейная смесь при малых контрастах:
$$n(\mathbf{r})\approx f(\mathbf{r})n_1+(1-f(\mathbf{r}))n_2,$$ где $f(\mathbf{r})$ — объёмная доля компонента.
- Более точные — Maxwell–Garnett, Bruggeman и др.:
$$\text{например, Maxwell-Garnett:}\frac{{\epsilon }_{\text{eff}}-{\epsilon }_m}{{\epsilon }_{\text{eff}}+2{\epsilon }_m}=f\frac{{\epsilon }_i-{\epsilon }_m}{{\epsilon }_i+2{\epsilon }_m}.$$ - В биологических тканях $n(\mathbf{r})$ определяется локальным содержанием воды, белков, липидов и органелл; изменения плотности/концентрации (или температуры, давления) дают градиенты $\nabla n$, которые отклоняют/фокусируют лучи.
- Для динамических/индуцированных градиентов полезны зависимости $n(T)$ (термальные эффекты), $n(c)$ (концентрационные) и акусто-оптические изменения $n(\mathbf{r},t)$ при ультразвуковой модуляции.
Практические применения в биомедицинской оптике
- GRIN-микроскопия и микроэндоскопы: компактные GRIN-линзы и GRIN-волокна для миниатюрных эндоскопов и эндобивного imaging (флуоресценция, двухфотонная микроскопия).
- Фокусирование и доставка света в ткань без выпуклых линз: встроенные градиенты в оптических зондаx для локальной фокусировки, уменьшения размера оптики.
- Улучшение компактных объективов для миниатюрных камер в биосенсорах и имплантатах.
- Оптическая коэрентная томография (OCT) и мультифотонная микроскопия: GRIN-пробники для доступа к глубинным слоям, управление формой пучка для оптимизации разрешения и глубины.
- Терапевтические приложения: локализованное нагревание/фокусировка лазера через градиенты, точечная фотодеструкция.
- Временное/динамическое формирование градиента: акусто-оптичесная или фототермическая модуляция для адаптивной фокусировки в рассеивающей ткани (в сочетании с волновой коррекцией).
- Моделирование и коррекция изображений: знание $n(\mathbf{r})$ помогает корректировать аберрации и реконструировать изображения через неоднородную среду (адаптивная оптика, обратная задача).
Короткие замечания по моделированию и ограничениям
- Геометрическая оптика валидна, если характерный масштаб изменения $n$ много больше длины волны: $L_n\gg \lambda$. Для сильного рассеяния или фейнмановских эффектов нужно решать волновые уравнения (ФП, бимодальная статистика).
- Для численного анализа используют трассировку лучей (Hamiltonian), метод конечных разностей для эйконала, BPM или решают Гельмгольца/Maxwell для волновых эффектов.
- Экспериментально измеряют $n(\mathbf{r})$ методами фазовой микроскопии, оптической когерентной томографии, или фазовой рефрактометрией.
Если нужно, могу вывести решение для конкретного профиля $n(r)$ (например, параболического) и показати явную формулу траектории/фокуса.