Коротко — какие критерии перехода и как зависят от параметров среды.
1) Энергетическое условие квантовости
- Квантовый режим, когда уровень одного квантования заметен по сравнению с тепловой энергией:
$\hslash \omega \gtrsim k_{B}T$.
- Классический (термализация), когда
$\hslash \omega \ll k_{B}T$ (т.е. среднее тепловое число возбуждений ${\bar{n}}_{th}\gg 1$),
${\bar{n}}_{th}=\frac{1}{e^{\hslash \omega /(k_{B}T)}-1}$.
2) Сравнение скоростей когерентной динамики и декогеренции
- Когерентная частота движения $\omega$ должна превышать темп потери когерентности. Если скорость декогеренции ${\Gamma }_{dec}$ удовлетворяет
${\Gamma }_{dec}\ll \omega$ — квантово‑когерентное поведение возможно;
если ${\Gamma }_{dec}\gtrsim \omega$ — классический режим.
- Для гармонического осциллятора в контактe с тепловой бани оценка декогеренции между двумя когерентными состояниями, разнесёнными на $\Delta x$:
${\Gamma }_{dec}\approx \gamma (2{\bar{n}}_{th}+1){\left(\frac{\Delta x}{x_{\mathrm{zpf}}}\right)}^2$,
где $\gamma$ — механический демпинг, $x_{\mathrm{zpf}}=\sqrt{\hslash /(2m\omega )}$ — нулевая флуктуация положения.
3) Среднее число квантов движения и баланс охлаждение/нагрев
- Для лазерного охлаждения важны скорости охлаждения ${\Gamma }_{\mathrm{cool}}$ и нагрева ${\Gamma }_{\mathrm{heat}}$. Устойчивое низкое среднее число:
$\bar{n}\sim {\Gamma }_{\mathrm{heat}}/{\Gamma }_{\mathrm{cool}}$.
- Квантовый граунд‑стейт требуем $\bar{n}\ll 1$. Классический — $\bar{n}\gg 1$.
4) Резонансные/лазерные критерии для ионного/атомного мотиля
- Условие разрешённой боковой линии (resolved sideband): $\omega \gg \Gamma$ (ширина оптического перехода). Это позволяет адресовать побочные полосы и охлаждать к близкому к нулю $\bar{n}$.
- Лэмб‑Дикке параметр $\eta =k{x}_{\mathrm{zpf}}$: для эффективного побочного охлаждения нужен $\eta \ll 1$. Если $\eta \gtrsim 1$ — сильные эффекты отдачи и классизация легче.
- Скорость рассеяния фотонов ${\Gamma }_{sc}$ и отдача задают частоту нагрева: характерная энергия отдачи $\hslash {\omega }_r$, ${\omega }_r=\frac{\hslash k^2}{2m}$.
5) Качество резонатора / добротность
- Q‑фактор $Q=\omega /\gamma$. Большой $Q$ и малый ${\bar{n}}_{th}$ — условие квантовости; малый $Q$ (большая демпинговая $\gamma$) — классическое поведение.
6) Спектр и память среды (марковость)
- Якщо корреляционное время бани ${\tau }_B$ мало (${\tau }_B\ll 1/\omega$) — марковский демпинг, быстрый распад когерентности.
- Немонархический (длинная память, узкие резонансы в спектре среды) может сохранять квантовую когерентность дольше.
7) Практические количественные условия классического перехода (суммарно)
- Классическая термализация при сочетании:
$\hslash \omega \ll k_{B}T$, ${\bar{n}}_{th}\gg 1$, ${\Gamma }_{dec}\gtrsim \omega$, $\bar{n}\gg 1$.
- Квантовая когерентность при:
$\hslash \omega \gtrsim k_{B}T$, $\bar{n}\lesssim 1$, ${\Gamma }_{dec}\ll \omega$, $\omega \gg \Gamma$ (для лазерного охлаждения).
Зависимость от параметров среды — кратко
- Температура $T$: повышает ${\bar{n}}_{th}$ и ${\Gamma }_{dec}$ → классизация.
- Сила связи к бане (демпинг $\gamma$): рост $\gamma$ увеличивает потери энергии и декогеренцию.
- Спектральная плотность среды $J(\omega )$: форма (оhmic, sub-/super‑ohmic) меняет частотную зависимость $\gamma$ и ${\Gamma }_{dec}$.
- Внешние шумы (электр., магнит., коллизии, блек‑боди): увеличивают ${\Gamma }_{heat}$ и ${\Gamma }_{dec}$.
- Лазерные параметры ($\Delta ,\Omega$): определяют ${\Gamma }_{sc}$, ${\Gamma }_{\mathrm{cool}}$ и эффективный ${\Gamma }_{heat}$; правильный выбор (большая детуннка для побочного охлаждения, $\omega \gg \Gamma$, малый $\eta$) ведёт к квантовому режиму.
Итого: переход контролируется соотношением энергий ($\hslash \omega$ vs $k_{B}T$), отношения скоростей (${\Gamma }_{dec}$ vs $\omega$) и средним числом квантов $\bar{n}$ (определяемым балансом охлаждения/нагрева). Все эти величины зависят от температуры, спектра и силы связи среды, а также от параметров лазера (детуннка, интенсивность, ширина линии).