Коротко и по делу — принципы, скейлинги и формулы, которые определяют полосу отрицательных параметров и потери в НРИ‑метаматериалах.
Основные механизмы
- Электрический ответ: «проволочный» (Drude-подобный) вклад даёт $\Re (\epsilon )<0$ в широкой полосе:
${\epsilon }_{\mathrm{eff}}(\omega )=1-\frac{{\omega }_{p,\mathrm{eff}}^2}{{\omega }^2+i\omega \Gamma }$.
- Магнитный ответ: резонансы LC (SRR, кольца, Mie‑резонаторы) дают дисперсионный μ с узкой резонансной полосой:
${\mu }_{\mathrm{eff}}(\omega )=1-\frac{F{\omega }^2}{{\omega }^2-{\omega }_0^2+i\omega \Gamma }$.
- Условие НРИ: одновременно $\Re (\epsilon (\omega ))<0$ и $\Re (\mu (\omega ))<0$ в одной и той же частотной области.
Геометрия и масштабирование
- Эффективная среда: размер ячейки $a$ должен быть сильно меньше длины волны $\lambda$: \(\;a\ll\lambda\;(\)обычно \(a\lesssim\lambda/10\)–\(\lambda/5)\). Иначе неприменимы эффективные параметры и возникают дифракция.
- Резонанс LC: частота резонанса определяется геометрическим $L$ и $C$:
${\omega }_0=\frac{1}{\sqrt{LC}}$.
Уменьшая линейные размеры и зазоры (снижая $L$ и $C$), повышают ${\omega }_0$ — поэтому для ТГц/оптики нужны нанометровые особенности.
- Для SRR/кольца: $L$ примерно пропорционально линейному размеру, $C$ — пропорционально площади/зазору, значит ${\omega }_0\propto 1/$ (размер).
- Для диэлектрических резонаторов (низкие потери) Mie‑условие порядка:
$2\pi rn/\lambda \sim 1$,
где $r$ — характерный размер, $n$ — показатель диэлектрика.
Потери и их скейлинг
- Металлические потери (Омические): металлы описываются моделью Друда
${\epsilon }_m(\omega )=1-\frac{{\omega }_p^2}{\omega (\omega +i\gamma )}$.
Потери задаются $\gamma$ (частота столкновений). На высоких частотах $\gamma$ и сравнительная большая доля металла дают большие потери.
- Скин‑глубина: если размеры сравнимы с $\delta$, токи распределяются по коже — растут потери:
$\delta =\sqrt{\frac{2}{{\mu }_0\omega \sigma }}$.
- Качественный фактор резонанса:
$Q=\frac{{\omega }_0}{\Gamma }$,
полоса резонанса $\Delta \omega \approx {\omega }_0/Q$. Общая демпфировка $\Gamma ={\Gamma }_{\mathrm{abs}}+{\Gamma }_{\mathrm{rad}}$.
- Излучательные (радиационные) потери растут при увеличении относительного объёма рассеивателя и при сильной связности с волной (скейлинг с $(a/\lambda )$ и с мультипольным моментом).
- Фигура качества НРИ:
$\text{FOM}=\frac{|\Re (n)|}{\Im (n)}$,
где $n=\sqrt{\epsilon \mu }$. Для практичных приложений FOM должен быть максимально большим.
Правила проектирования для широкой полосы и низких потерь (trade‑offs)
- Широкая отрицательная ε: использовать проволочные/плазмонные (Drude‑тип) элементы — широкая, но с омическими потерями.
- Магнитная отрицательность обычно узкая из‑за резонанса LC — её расширение требует:
- увеличение рассеяния/взаимодействия между резонаторами (спектральное слияние резонансов), но это может увеличить потери и привести к неоднородности;
- использование нескольких наложенных резонансов (multi‑resonator, многослойные «fishnet»), чтобы создать перекрытие областей $\Re (\epsilon )<0$ и $\Re (\mu )<0$.
- Снижение потерь:
- минимизировать объём металла и токов в тонких частях, оптимизировать геометрию зазоров (увеличить $C$ при малых токах);
- применять высокопроводящие металлы, охлаждение, ламинарные покрытия, альтернативы металлам (проводящие оксиды) или высоко‑показательные диэлектрики (Mie‑резонаторы) для магнитного ответа;
- компенсировать потери активными (пороговыми) средами с усилением — сложная балансировка стабильности и шума.
- Масштабирование в оптике: при уменьшении размеров для видимого диапазона металлы становятся более диссипативными → часто переходят на диэлектрическую микроархитектуру.
Практические эмпирические соотношения
- Эффективная среда: $a\lesssim \lambda /10$.
- Резонанс: ${\omega }_0\sim 1/$ (линейный размер).
- Полоса резонанса приблизительно: $\Delta \omega \approx {\omega }_0/Q$ с $Q$, ограниченным омическими и радиационными потерями.
- Потери задают FOM: стремитесь к $\text{FOM}\gg 1$ для полезных приложений; в оптической области у плазмонных НРИ типично $\text{FOM}\sim 0.1$–$1$, у диэлектрических подходов лучше.
Коротко: ключ — подстроить геометрию резонаторов (LC), размеры ячеек $a\ll \lambda$, и материалы так, чтобы резонанс магнитного и электрического отклика перекрывались. Расширение полосы достигается наложением резонансов или переходом к менее резонансным (Drude‑типа) элементам, но это обычно сопровождается увеличением потерь; снижение потерь — через оптимизацию токовых путей, использование диэлектрических резонаторов или активную компенсацию.