Коротко и по делу. Рассматриваем волновод с поперечной неоднородностью показателя преломления $n(x,y)$.
1) Условия устойчивой передачи (руководящие принципы)
- Базовая волновая равновесность: стационарный скалярный Хельмгольц
$${\nabla }^{2}E+k_0^2{n}^2(x,y)E={\beta }^{2}E,$$ где $k_0=2\pi /\lambda$, $\beta$ — продольная постоянная. В параксиальном приближении это эквивалентно уравнению Шрёдингера для огибающей.
- Условие замкнутых мод: эффективный индекс должен лежать между максимумом и матрицей (окружающей средой)
$$n_{\mathrm{clad}}<n_{\mathrm{eff}}=\beta /k_0<\underset{x,y}{\max }n(x,y).$$ - Для параболического профиля $n^2(r)=n_0^2(1-2\Delta r^2/a^2)$ моды имеют форму гармонического осциллятора (Гауссовы/Гермиановые или Лагеррe‑Гауссовы) и стабильны при малой продольной вариации профиля.
- Адекватность одно- или многомодового режима определяется пространственным масштабом профиля $a$ и нормированным частотным параметром $V$. Устойчивость против перераспределения энергии между модами требует, чтобы разность продольных констант была большой относительно возможных возмущений:
$$|\Delta {\beta }_{mn}|=|{\beta }_m-{\beta }_n|\gg |C_{mn}|,$$ где $C_{mn}$ — коэффициент связи (см. ниже).
2) Потери на рассеяние и утечки
- Основные механизмы: рассеяние на маломасштабных флуктуациях $\Delta n(x,y,z)$, рассеяние на шероховатости боковой поверхности, изгибные утечки и несоответствие концов/соединений.
- Коэффициент связи между модами при слабом возмущении даётся КТ (coupled‑mode theory)
$$\frac{d{a}_m}{dz}=-i\sum _n{C}_{mn}(z)e^{i({\beta }_n-{\beta }_m)z}{a}_n,C_{mn}\propto \iint \Delta n(x,y,z)E_m^{\ast }(x,y)E_n(x,y)dA.$$ - Оценка рассеяния на случайных флуктуациях (порядок величины): при среднеквадратичной амплитуде ${\sigma }_n$ и корреляционном масштабе $l_c$ $${\alpha }_s\propto k_0^p{\sigma }_n^2{l}_c,$$ где степень $p$ зависит от режима рассеяния (Rayleigh‑подобный высокий порядок в коротковолновой области). Для оптики часто используют приближение ${\alpha }_s\sim k_0^3{\sigma }_n^2{l}_c$ как оценку порядка.
- Если в результате возмущения $n_{\mathrm{eff}}$ локально опускается ниже $n_{\mathrm{clad}}$, происходит утечка в радиационные моды (leakage loss).
- Изгибовые потери возрастают экспоненциально при кривизне радиуса $R$ меньше критического: грубо ${\alpha }_{\mathrm{bend}}\sim \exp (-\gamma R)$ с $\gamma \propto k_0\sqrt{n_{\mathrm{eff}}^2-n_{\mathrm{clad}}^2}$.
3) Возможность мультиплексирования (mode‑division multiplexing)
- Теоретически градиентные профили поддерживают множество ортонормированных мод — пригодны для MDM. Практические ограничения:
- Кроссток (межмодовая связь) определяется отношением $|C_{mn}|/|\Delta {\beta }_{mn}|$. Для низкого кросстока нужно $|C_{mn}|\ll |\Delta {\beta }_{mn}|$.
- Различие времени запаздывания мод (DMD) и мод‑зависимые потери усложняют демультиплексирование и компенсацию.
- Шум и рассеяние приводят к перемешиванию каналов по длине: средний уровень кросстока растёт как $\sim |C{|}^2/\Delta {\beta }^2$ при равномерных случайных возмущениях.
- Практические меры: проектировать профиль, увеличивающий $\Delta \beta$ между используемыми модами; уменьшать ${\sigma }_n$ и $l_c$ (гладкая технологическая обработка); использовать MIMO‑обратное вычисление на приёме или отдельные модовые селекторы (трансформеры, фазовые решётки).
- Ограничения числа каналов: увеличивая число мод, уменьшают $\Delta \beta$ и повышают чувствительность к возмущениям и DMD — практическая ёмкость ограничена требуемым уровнем кросстока и приемлемыми потерями.
Короткое резюме правил проектирования
- Высокий и плавный градиент $n(x,y)$ → сильная локализация мод и большая $\Delta \beta$.
- Минимизировать маломасштабные флуктуации ${\sigma }_n$ и шероховатость боковой поверхности → снижает ${\alpha }_s$ и кроссток.
- Поддерживать адiabatic изменение по $z$ (медленнее, чем длина сцепления) → предотвращает возбуждение других мод.
- Для MDM применять схемы демультиплексирования и компенсировать DMD/MIMO, иначе практическая эффективность ограничена.
Если нужны конкретные формулы для заданного профиля $n(x,y)$ или оценка численных величин (потери в дБ/км, ожидаемый кроссток), дайте профиль и параметры (лаборатория, $\lambda$, ${\sigma }_n$, $l_c$, размеры).