Кратко: в GRIN‑линзе лучи изгибаются непрерывно внутри объёма из‑за радиального градиента показателя преломления, вместо того чтобы преломиться только на поверхностях как в однородной линзе. Это даёт синусоидальные траектории лучей, периодичную фокусировку и возможность компактных линз с меньшими аберрациями.
Основные уравнения и выводы:
- Для типичного параболического профиля (параксиальное приближение)
$$n(r)\approx n_0(1-\frac{1}{2}{g}^2{r}^2)$$ уравнение лучей даёт гармоническое колебание
$$\frac{d^{2}r}{d{z}^2}+g^{2}r=0,$$ решение
$$r(z)=r(0)\cos (gz)+\frac{r^{\prime }(0)}{g}\sin (gz).$$ - Лучи идут по синусоиде с пространственной частотой $g$; период (pitch)
$$P=\frac{2\pi }{g}.$$ - Для коллимированного входного пучка ($r^{\prime }(0)=0$) лучи пересекаются через расстояние (от выходной грани линзы) равное
$$f=\frac{1}{g}\cot (gL),$$ где $L$ — длина GRIN‑стержня. Особые случаи: для $L=\frac{\pi }{2g}$ (четверть‑периода) фокус находится прямо на выходной грани ($\cot (\pi /2)=0$); для $L=\frac{\pi }{g}$ (половина периода) выходной пучок снова коллимирован (изображение в бесконечность).
Сравнение с однородной линзой:
- В однородной линзе лучи прямолинейны внутри и меняют направление только на поверхностях; фокусное расстояние задаётся радиусами поверхностей и показателем преломления через формулу линзмейкера.
- В GRIN фокус формируется внутренним изгибом лучей, поэтому часто достигают короче эффективного фокусного расстояния при плоских (или малых) поверхностях и меньших оптических аберрациях (особенно сферических) при параболическом профиле.
- GRIN позволяет получить компактные, тонкие и хорошо коррелированные по аберрациям элементы, а также реализовать многопериодные «телескопы»/реле внутри одного стержня.
Практические применения:
- Микрообъективы и объективы для модулей камер и мобильных устройств (компактность).
- Линзы для волоконной оптики: переключение/сопряжение, коллимация и фокусировка в GRIN‑волокнах.
- Эндоскопия и миниатюрные оптические системы (плоские вход/выход лицевые поверхности).
- Имидж‑реле (GRIN‑стержни длиной 1/4, 1/2 и т.д. периода) для передачи изображения внутри приборов.
- Оптические моды и смешение в фотонике: профилировка мод поля, преобразование мод.
- Снижение аберраций в компактных системах и интеграция с чип‑оптикой.
Итог: GRIN‑линза меняет ход лучей на синусоидальный внутри объёма, даёт периодичную фокусировку с параметром $g$ и длиной $L$, обеспечивает компактные решения и уменьшение аберраций по сравнению с эквивалентной однородной линзой.