Кратко и по сути (геометрия: длинный прямой проводник параллелен большой тонкой металлической пластине на расстоянии $d$; ток в проводнике $I(t)=I_0\cos (\omega t)$).
1) Поле от провода
$$B_{\phi }(r,t)=\frac{{\mu }_{0}I(t)}{2\pi r}$$ (стороны кружатся вокруг провода; $r$ — расстояние от оси провода).
2) Вихревые токи в пластине
- Изменяющееся $B$ создаёт циркулирующее электрическое поле по закону Фарадея:
$$\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=-\frac{d\Phi }{dt}.$$ Для кольца радиуса $R$ (на плоскости пластины) поток на единицу длины вдоль провода
$$\Phi (R,t)={\int }_{r_0}^R{B}_{\phi }(r,t)dr=\frac{{\mu }_{0}I(t)}{2\pi }\ln \frac{R}{r_0},$$ поэтому вызываемая ЭДС (на единицу длины) и тангенциальное поле приблизительно
$$\mathcal{E}(R)=-\dot{\Phi }(R)=-\frac{{\mu }_0\dot{I}}{2\pi }\ln \frac{R}{r_0},E_{\theta }(R)\approx \frac{\mathcal{E}}{2\pi R}.$$ - Токи в материале (Омов закон) $\mathbf{J}=\sigma \mathbf{E}$. Следовательно в пластине возникают замкнутые «кольцевые» вихревые токи, концентрирующиеся вокруг проекции провода.
3) Силы и торможение
- Лоренцова сила на элемент объёма пластины
$$\mathbf{f}=\mathbf{J}\times \mathbf{B}.$$ Векторная композиция даёт нормальную (притягивающую/отталкивающую в зависимости от фазы) и тангенциальную составляющие; при синусоидальном токе средняя во времени реактивная часть даёт фазовую (индуктивную) силу, а диссипативная часть — реальное торможение (усвоение энергии в виде тепла).
- Приближённая оценка силы на единицу длины (масштабно)
$$F^{\prime }\sim \int JBdA\sim JBV\sim (\sigma E)BV,$$ где $E\sim \omega BL$ (оценочно), $V$ — объём, задействованный токами. Подставляя $B$ от провода, получаем скейлинг $F^{\prime }\propto \sigma \omega B^2\times (\text{объём})$. В частности, для гармонического тока тормозящая сила связана со сочетаниями $I\dot{I}$ и усредняется в диссипативной части.
4) Зависимость от проводимости $\sigma$ и частоты $\omega$ (два режима)
- Вводная величина — толщина скин-слоя
$$\delta =\sqrt{\frac{2}{\mu \sigma \omega }}.$$ a) Низкие частоты / тонкая пластина ($t\ll \delta$): токи распределены по всей толщине. Тогда $K$ (ток на единицу ширины) $\sim \sigma tE$, потери на единицу объёма $\sim J^2/\sigma$ даёт мощность рассеяния (и тормозящую составляющую) примерно пропорциональную
$$P\sim \sigma t{\omega }^2{B}^2{L}^2,$$ то есть при прочих равных торможение растёт с $\sigma$ и с ${\omega }^2$ (линейно по $\sigma$ в этой области).
b) Высокие частоты / толстая пластина ($\delta \ll t$): токи сосредоточены в слое толщиной $\sim \delta$. Эффективный объём ∝$\delta$, поэтому мощность и торможение масштабируются как
$$P\sim \sigma E^2\delta .$$ Подставляя $\delta \propto (\sigma \omega {)}^{-1/2}$ и $E\sim \omega B$, получаем приближённый скейлинг
$$P\propto \sqrt{\sigma }{\omega }^{3/2}{B}^2.$$ Таким образом при росте $\sigma$ в этой области эффект растёт медленнее, чем линейно (из-за уменьшения $\delta$).
c) Предел идеального проводника ($\sigma \to \infty$): поле на поверхности полностью компенсируется индуцированными токами (реактивный ответ), рассеяние энергии→0, тормозящая часть чисто реактивна (нет тепловых потерь).
5) Фазовые соображения
- Индуктивная часть индуцированных токов даёт смещённую по фазе силу (реактивную, не рассеивающую энергию), а резистивная часть (проекция тока на фазу поля) отвечает за потери и реальное торможение. Для гармонического тока средняя по времени рассеянная мощность пропорциональна компоненте $J$ в фазе с $E$.
Короткий итог: в пластине возникают замкнутые кольцевые вихревые токи вокруг проекции провода; они создают силу $\mathbf{J}\times \mathbf{B}$, дающую притягивание/торможение, причём в низкочастотном/тонком-слое торможение растёт примерно пропорционально $\sigma$ и ${\omega }^2$, а в высокочастотном/толстом-слое скин-эффект меняет масштаб до примерно $\propto \sqrt{\sigma }{\omega }^{3/2}$ (приближённо).