Коротко: ускоряющийся заряд излучает электромагнитные волны, которые уносят энергию и импульс; чтобы сохранить закон движения и баланс энергии/импульса, должен появиться «реактивный» силу со стороны собственного поля — radiation reaction.
Почему и как учитывать
- Мощность, излучаемая точечным зарядом (нерелятивистски) даётся формулой Лармора:
$P=\frac{q^2{a}^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}$.
Потеря энергии требует наличия силы ${\mathbf{F}}_{\mathrm{rad}}$, делающей отрицательную работу.
- Нерелятивистский подход (Абра́ма–Лоренц) даёт уравнение движения
$$m\mathbf{a}={\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}+{\mathbf{F}}_{\mathrm{rad}},{\mathbf{F}}_{\mathrm{rad}}=\frac{q^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}\dot{\mathbf{a}},$$ где точка означает производную по времени (т.е. третий порядок по координате).
- Релятивистский результат (Абра́ма–Лоренц–Дирак, четырёхвекторная форма):
$$m{a}^{\mu }=F_{\mathrm{ext}}^{\mu }+\frac{q^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}({\dot{a}}^{\mu }-\frac{a_{\nu }{a}^{\nu }}{c^2}{u}^{\mu }),$$ где $u^{\mu }$ — четырёх-скорость, $a^{\mu }$ — четырёх-ускорение, точка — производная по собственному времени.
- При выводе для точечного заряда возникает бесконечная собственная энергия поля; это устраняют через переопределение массы (renormalization): измеримая масса $m$ = «голая» масса + расходимая поправка из собственного поля.
Энергетический баланс и Шоттовский вклад
- Работа силы реакции связана с излучаемой мощностью и с изменением энергии ближнего поля (Schott term). Формально:
$${\mathbf{F}}_{\mathrm{rad}}\cdot \mathbf{v}=-P-\frac{d}{dt}{U}_{\mathrm{Schott}},U_{\mathrm{Schott}}=\frac{q^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}\mathbf{a}\cdot \mathbf{v}.$$
Концептуальные сложности
1. Третий порядок по времени. Уравнение с $\dot{\mathbf{a}}$ требует задавать начальную ускорение помимо позиции и скорости.
2. Решения-«runaway»: при отсутствии внешней силы появляются экспоненциально растущие (нефизические) решения.
3. Предускорение (pre-acceleration): решения показывают ускорение до приложения внешней силы → кажущаяся потеря каузальности на масштабе ${\tau }_0=\frac{q^2}{6\pi {ϵ}_{0}m{c}^3}$.
4. Синяя дивергенция для точечной частицы и необходимость ренормировки массы — классическая модель точки физически проблематична.
5. Разделение между излучаемой энергией и энергией ближнего поля (Schott) делает локальный энергетический учёт нетривиальным.
Практические способы разрешения
- Reduction of order / Landau–Lifshitz: если сила реакции мала (${\tau }_0$ мал), заменяют $\dot{\mathbf{a}}$ выражением через производную внешней силы, получая второпорядковое уравнение без runaways:
$$m\mathbf{a}={\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}+\frac{q^2}{6\pi {ϵ}_0{c}^3}\frac{d}{dt}\left(\frac{{\mathbf{F}}_{\mathrm{ext}}}{m}\right)+\mathcal{O}({\tau }_0^2).$$ Это даёт физически приемлемые решения и широко используется в практических задачах.
- Модели конечного размера заряда (распределённый заряд) устраняют бесконечности, но вводят дополнительные параметры.
- Полная квантовая теория (QED) даёт более фундаментальное разрешение проблемы самовоздействия и ренормировки.
Краткий вывод: radiation reaction обязателен для сохранения энергии и импульса при излучении; на уровне классической точки он описывается членом с $\dot{\mathbf{a}}$ (Абра́ма–Лоренц/Дирак), но это порождает математические и физические трудности (runaway, предускорение, дивергентная собственная энергия), которые решаются либо приближёнными уравнениями (Landau–Lifshitz), либо моделями конечного размера/квантовой теорией.