Коротко: экспоненциальный закон возникает потому, что для многих нестабильных состояний вероятность распада в единицу времени постоянна (процесс пуассоновский) — это следует из квантовой механики при слабом, «марковском» связи с континуумом состояний. Отклонения на очень малых и очень больших временах связаны с фундаментальными свойствами временной эволюции квантовой амплитуды, спектра энергий и с эффектами измерения/окружения.
Пояснения и формулы.
1) Квантовая формулировка и происхождение экспоненты.
- Амплитуда выживания исходного состояния $|\psi (0)⟩$:
$$a(t)=⟨\psi (0)|\psi (t)⟩=\int dE\rho (E)e^{-iEt/\hslash },$$ где $\rho (E)$ — распределение плотности по энергии (спектральная функция).
- Если $\rho (E)$ имеет лоренцевский профиль вокруг резонанса, например
$$\rho (E)\propto \frac{1}{(E-E_0{)}^2+(\Gamma /2{)}^2},$$ то интеграл даёт экспоненциальную зависимость амплитуды
$$a(t)\propto e^{-i{E}_{0}t/\hslash }{e}^{-\Gamma t/2\hslash },$$ и вероятность выживания
$$P(t)=|a(t){|}^2\propto e^{-\Gamma t/\hslash }\equiv e^{-\lambda t},$$ где $\lambda =\Gamma /\hslash$. Практически такой спектральный профиль возникает при слабом (приблизительно стационарном) переходе в континуум; в этом пределе применима формула Ферми «золотое правило» для скорости распада
$$\lambda =\frac{2\pi }{\hslash }|V_{fi}{|}^2\rho (E_f),$$ что даёт постоянную вероятность распада в единицу времени и, следовательно, экспоненциальный закон.
2) Причины отклонений на коротких временах.
- Короткотле́вое поведение определяется начальным разложением эволюции:
$$a(t)=1-\frac{i}{\hslash }⟨H⟩t-\frac{1}{2{\hslash }^2}⟨H^2⟩t^2+\dots$$ откуда для вероятности
$$P(t)=|a(t){|}^2\approx 1-\frac{(\Delta E{)}^2}{{\hslash }^2}{t}^2+O(t^3),$$ то есть квадратичная зависимость, а не экспонента. Это приводит к эффекту Квантового торможения (Quantum Zeno effect) при частых измерениях. Физически: требуется ненулевая ширина энергетического распределения $\Delta E$, и при очень малых $t$ разложение по степеням даёт квадратику.
3) Причины отклонений на очень больших временах.
- Долгопериодное поведение определяется аналитическими свойствами $\rho (E)$ и наличием нижней границы спектра энергий. Из-за конечного нижнего предела энергии интеграл Фурье для $a(t)$ даёт асимптотику обратной степенной зависимости:
$$P(t)=|a(t){|}^2\sim t^{-\alpha },$$ где показатель $\alpha$ зависит от поведения $\rho (E)$ вблизи порога (типичный результат — степенной хвост, а не экспонента). Таким образом экспоненциальная зависимость переходит в медленно убывающий «хвост» (обнаружить это экспериментально трудно, т.к. сигналы чрезвычайно малы).
4) Другие причины отклонений от экспоненты.
- Неслабая или энергозависимая связь с континуумом (немарковские эффекты).
- Несколько перекрывающихся резонансов / интерференция каналов распада (биэкспоненциальное или осциллирующее поведение).
- Воздействие окружения (декогеренция, температура) и внешние поля.
- Конечный размер системы или дискретизация состояний (квантовая реверсия, обратимые процессы).
Кратко: экспоненциальный закон — результат марковского, слабокогерентного перехода в континуум с лоренцевым профилем энергового распределения; отклонения на сверхкоротких временах — квадратичное поведение по времени (квантовый Зено), а на сверхдлинных — степенные (неэкспоненциальные) хвосты, причём дополнительные отклонения даёт сильная связь, множественные каналы и взаимодействие с окружением.