Коротко — суть и как из туннелирования получают период полураспада, затем критические допущения.
1) Идея туннелирования для α‑распада
α‑частица внутри ядра имеет энергию $E$ меньшую, чем высота кулоновского барьера $V(r)$ за пределами ядерного радиуса $R$. Квантово она может «туннелировать» через барьер с некоторой вероятностью $P$ и покинуть ядро — это даёт распад.
2) Вероятность прохождения барьера (WKB)
В приближении полуклассической(WKB) вероятность прохождения барьера равна (для одномерного радиального движения)
$$P\approx \exp \left(-2{\int }_{r_1}^{r_2}\kappa (r)dr\right),\kappa (r)=\frac{\sqrt{2m(V(r)-E)}}{\hslash },$$ где $r_1,r_2$ — классические точки поворота ($V(r_{1,2})=E$), $m$ — редуцированная масса α‑частицы и остатка ядра.
Для внешнего кулоновского барьера это даёт гамовский фактор (в приближении $R\ll r_2$)
$$P\approx \exp \left(-\frac{2\pi Z_d{Z}_{\alpha }{e}^2}{\hslash v}\right),v=\sqrt{\frac{2E}{m}},$$ где $Z_d$ — заряд дочернего ядра, $Z_{\alpha }=2$.
3) От вероятности туннелирования к постоянной распада и периоду полураспада
Распад описывается постоянной распада $\lambda$, которую моделируют как число попыток выхода в единицу времени умноженное на вероятность успешного туннелирования и на вероятность предсуществования кластера α:
$$\lambda =SfP.$$ Здесь $S$ — фактор предобразования α‑частицы (0<$S$≤1), $f$ — частота «стукол» о барьер (оценочно $f\sim v/(2R)$). Тогда период полураспада
$$T_{1/2}=\frac{\ln 2}{\lambda }=\frac{\ln 2}{SfP}.$$ Подставляя экспоненциальную зависимость $P$, получают сильную экспоненциальную (и логарифмически почти линейную) связь между $\log T_{1/2}$ и $Z_d/\sqrt{E}$ — Geiger–Nuttall закон:
$${\log }_{10}{T}_{1/2}\approx a\frac{Z_d}{\sqrt{E}}+b.$$
4) Критические допущения модели барьера (что важно и где возможны ошибки)
- Наличие и величина фактора предобразования $S$. В простейших теориях его принимают за 1 — это грубое допущение; истинный $S$ может быть существенно меньше и зависит от структуры ядра.
- Формула для потенциала: обычно берут «квантово‑классическую» комбинацию глубокой ядерной ямы внутри $r<R$ и чистого кулоновского $V(r)=Z_d{Z}_{\alpha }{e}^2/r$ с резким стыком в $R$. Формы ядерного потенциала, конечный размер ядра и гладкость стыка сильно влияют на интеграл WKB.
- Пренебрежение орбитальным моментом (L=0). Центробежный барьер добавляет ${\hslash }^2\ell (\ell +1)/(2m{r}^2)$ и заметно уменьшает $P$ для больших ℓ.
- Одномерное радиальное приближение и отсутствие корреляций многих тел: модель предполагает движение заранее сформированной α‑частицы в эффективном потенциале; реальные многочастичные эффекты (корреляции, динамическое формирование α) меняют $S$ и потенциал.
- Полуклассическое приближение WKB: оно требует медленно меняющегося барьера по сравнению с длиной волны подбарьерного состояния; при очень тонких/острых барьерах погрешность растёт.
- Статичность потенциала: отталкивание/диссипация, коллективные колебания ядра и квантовые флуктуации не учитываются.
- Электронное экранирование и поправки конечного размера заряда обычно малы, но могут учитываться для точности.
Итого: гамовская (WKB) теория туннелирования даёт экспоненциально малую вероятность выхода α‑частицы и, через $\lambda =SfP$, предсказывает период полураспада $T_{1/2}=\ln 2/(SfP)$. Главное ограничение модели — неопределённость фактора предобразования и точная форма эффективного барьера (включая орбитальное движение и многочастичные эффекты).