Кратко и по существу.
1) Почему в классическом представлении нет взаимодействия света со светом.
Классическая электродинамика (уравнения Максвелла в вакууме) линейна, поэтому поля суммируются (принцип суперпозиции) и отдельные электромагнитные волны не меняют друг друга. В терминах фотонов это означает отсутствие вершины, связывающей только фотоны — нет классического канала для их рассеяния.
2) Откуда берётся взаимодействие в квантовой электродинамике (КЭД).
В КЭД вакуум поляризуется: фотон может временно превращаться в виртуальную пару электрон–позитрон, эта виртуальная пара может взаимодействовать с другим фотоном и вновь аннигилировать, что даёт эффективное взаимодействие между фотонами. На диаграмме Фейнмана это «ящик» (box) с четырьмя внешними фотонами и внутренним электронным контуром. Иными словами — взаимодействие опосредовано виртуальными заряженными частицами (в основном электронами).
3) Эффективная нелинейность вакуума (Euler–Heisenberg).
Для полей слабее критических и энергий $\ll m_e{c}^2$ можно ввести эффективный лагранжиан
$${\mathcal{L}}_{\mathrm{eff}}={\mathcal{L}}_{\mathrm{Maxwell}}+\frac{2{\alpha }^2}{45m_e^4}[({\mathbf{E}}^2-{\mathbf{B}}^2{)}^2+7(\mathbf{E}\cdot \mathbf{B}{)}^2]+\dots$$ откуда следуют нелинейные эффекты (рассеяние светом о свет, вакуумная двулучепреломляемость и т.д.). Здесь $\alpha$ — тонкая структура, $m_e$ — масса электрона.
4) Насколько сильно это явление (масштабности).
При низких энергиях сечение для $\gamma \gamma \to \gamma \gamma$ быстро убывает и масштабируется примерно как
$$\sigma \sim {\alpha }^4{\lambda }_C^2{\left(\frac{\hslash \omega }{m_e{c}^2}\right)}^6,$$ где ${\lambda }_C=\frac{\hslash }{m_{e}c}$ — комптоновская длина электрона. Для видимых фотонов ($\hslash \omega \sim 1\mathrm{eV}$) численно сечение чрезвычайно мало (приблизительно $10^{-68}{\mathrm{m}}^2$), то есть практически невидимо в обычных условиях.
5) Условия для наблюдения.
- Высокие энергии фотонов: если энергия фотона в системе центра масс сравнима с массой электрона, $\hslash \omega \sim m_e{c}^2(\approx 511\mathrm{keV})$, сечение становится значительно больше и процесс наблюдаем в экспериментах с жесткими гамма‑лучами или в коллайдерах.
- Очень большие поля/интенсивности: эффекты вакуума значимы при полях порядка Швингера
$$E_S=\frac{m_e^2{c}^3}{e\hslash }\approx 1.3\times 10^{18}V/m,$$ соответственно интенсивности порядка
$$I_S\sim \frac{c{\epsilon }_0}{2}{E}_S^2\sim 10^{29}\text{–}10^{30}W/c{\mathrm{m}}^2.$$ Такие интенсивности нужны, чтобы нелинейные члены лагранжиана дали заметный вклад для оптических фотонов.
6) Эксперименты (как наблюдают на практике).
- Прямое наблюдение рассеяния светом о свет: зафиксировано в ультра-периферийных столкновениях тяжелых ионов (LHC, ATLAS/CMS), где сильные электромагнитные поля зарядов действуют как пучки квазиреальных фотонов.
- Лазерные эксперименты: ищут вакуумную двулучепреломляемость и слабое рассеяние с помощью сверхинтенсивных импульсов и синхронизации с рентгеновскими пучками (проекты ELI, XFEL, PVLAS и т.п.). Такие измерения требуют экстремальных интенсивностей либо больших интегральных флуксов фотонов.
Вывод: классически фотонов нет смысла взаимодействовать из‑за линейности уравнений Максвелла; в КЭД взаимодействие появляется через виртуальные заряженные пары, но сечение очень мало, поэтому для наблюдения нужны либо высокие энергии ($\sim m_e{c}^2$), либо экстремально большие поля/интенсивности ($E\sim E_S$, $I\sim 10^{29}W/c{\mathrm{m}}^2$).