Кратко — стоячие волны в трубах образуются из наложения бегущих волн с граничными условиями на концах; эти условия и геометрия определяют набор резонансных частот (обертонов) и их относительные амплитуды (тембр).
Основные положения (с формулами):
- Граничные условия:
- открытый конец: давление близко к атмосферному → узел давления (антинода скорости), $p=0$ у конца;
- закрытый конец: поток (скорость) = 0 → пучность давления (антинода давления).
- Цилиндрическая труба, оба конца открыты (или эффективно открыты): стоячая волна с $p(x)\propto \sin (kx)$, условие $kL=n\pi$ даёт
$${\lambda }_n=\frac{2L}{n},f_n=\frac{nv}{2L}(n=1,2,3,\dots ).$$ Все гармоники (целые кратные частоты) присутствуют.
- Цилиндрическая труба с одним закрытым концом (стоп): проявляются только нечетные гармоники:
$$kL=\frac{(2n-1)\pi }{2}\Rightarrow f_n=\frac{(2n-1)v}{4L}(n=1,2,3,\dots ).$$ - Эффективная длина (конечная поправка): реальный открытый конец «выпирает» волной наружу, поэтому
$$L_{\mathrm{eff}}=L+\Delta ,\Delta \approx \alpha r,$$ где $r$ — радиус сечения, $\alpha \approx 0.6$ для неокантованного (unflanged) конца, $\alpha \approx 0.85$ для фланга. Эта поправка сдвигает все резонансы вниз по частоте и даёт небольшую неравномерность обертонов.
- Форма трубы (бочка/коническая/утолщение):
- конус примерно даёт гармонический ряд (частоты почти целые кратные базовой) даже при «закрытом» малом конце, поэтому конусированные органы (трубы типа trumpet/oboe-корпусы) более «гармоничны» и богаче спектром.
- резонансная структура меняется вдоль переменного сечения: формула простого $\frac{nv}{2L}$ уже лишь приближение; локальное изменение сечения меняет распределение амплитуд обертонов.
- Возбуждение и тембр:
- источник (флейтовый канал, язик, «fipple») задаёт начальное поле скоростей/давления у входа; спектральная плотность возбуждения и её положение относительно узлов/пучностей определяют, какие обертоны сильно возбуждаются (например, струйный край возбуждает высокие гармоники, их усиление зависит от соотношения ширины струи и положения).
- респираторное сопротивление (акустическое импеданс на входе и излучение на отверстии) формирует огибающую спектра: одни частоты эффективно излучаются, другие глушатся.
- Диссипация и внетональные эффекты:
- вязко-тепловые потери в пограничном слое уменьшают амплитуду высоких гармоник; толщину слоя задаёт
$$\delta =\sqrt{\frac{2\eta }{\rho \omega }},$$ откуда потери растут с частотой → «смягчение» тембра при узких трубах/высоких частотах.
- утечки, тонхолы, швы, шероховатость и вязкость стенок вносят дополнительные затухания и небольшие сдвиги частот.
- Влияние температуры и состава воздуха:
- скорость звука $v$ зависит от температуры: например
$$v\approx 331+0.6T_{\text{°C}}\text{м/с},$$ поэтому все резонансы масштабируются с $v$.
- Тоновые отверстия, регистры и сложные сечения:
- отверстия и перемычки на трубе меняют эффективную длину и могут разрывать гармоническую структуру; использование ряда отверстий (в органе — регистры и клапаны) даёт возможность переключать набор обертонов.
- Выхлоп/излучение: эффективность излучения зависит от соотношения диаметра апертуры и длины волны; низкие гармоники плохо излучаются из маленького отверстия → это влияет на воспринимаемый тембр и громкость.
Итого: геометрия (длина, форма сечения, диаметр, конусность), граничные условия (открыто/закрыто, концевые поправки), механизм возбуждения и потери определяют набор резонансных частот (формулы выше) и относительную амплитуду обертонов — то есть тембр.