Коротко — физика и ключевые параметры.
Модель. Две колокола можно приближённо описать как два собственных осциллятора массой $m$ и жёсткостью пружин $k_1,k_2$, связанные «пружиной» жёсткости $k_c$. Уравнения (без диссипации):
$$m{\ddot{x}}_1+(k_1+k_c)x_1-k_c{x}_2=0,m{\ddot{x}}_2+(k_2+k_c)x_2-k_c{x}_1=0.$$
1) Резонанс и нормальные моды.
- Если колокола идентичны ($k_1=k_2=k$), то есть две собственные (нормальные) частоты
$${\omega }_{-}=\sqrt{\frac{k}{m}},{\omega }_{+}=\sqrt{\frac{k+2k_c}{m}}.$$ - Состояния: симметричная мода ($x_1=x_2$) и антисимметричная ($x_1=-x_2$). Это — «разделение» частоты из‑за связи (ускорение/замедление).
2) Передача энергии (биения).
- Если вначале энергия сосредоточена в одном колоколе, при слабой связи энергия будет периодически переходить туда-обратно с частотой биений
$$\Delta \omega ={\omega }_{+}-{\omega }_{-}.$$ - Период полного переноса энергии (время «перехода») примерно
$$T_{\mathrm{transfer}}=\frac{\pi }{\Delta \omega }.$$ При $k_c\ll k$ можно приближённо взять
$$\Delta \omega \approx \frac{k_c}{m{\omega }_0},{\omega }_0=\sqrt{\frac{k}{m}}.$$
3) Влияние отстройки и связи (общая картина).
- Если собственные частоты не равны (${\omega }_1\ne {\omega }_2$), эффективность и скорость обмена зависят от отстройки $\Delta ={\omega }_1-{\omega }_2$ и от силы связи. В приближённой «резонансной» форме обменная (биенная) частота может быть записана (в терминах параметра связи $g$, задающего скорость обмена)
$$\Omega =\sqrt{g^2+{\left(\frac{\Delta }{2}\right)}^2},$$ и при $\Delta =0$ обмен максимален (полный перенос), при $|\Delta |\gg g$ перенос сильно подавлен. (В модели пружин $g$ пропорционален $k_c/(m{\omega }_0)$.)
4) Роль диссипации и потерь.
- Внутреннее затихание (коэффициент затухания $\gamma$) уменьшает амплитуды и может помешать обмену: для заметного резонансного обмена нужно, чтобы скорость обмена превышала потери, т.е.
$$\Delta \omega \gtrsim \gamma .$$ - Наличие рассеяния в связи (потери в $k_c$) тоже снижает эффективность передачи.
5) Практические параметры, которые определяют характер и скорость передачи энергии:
- собственные частоты (массы и жёсткости: $m,k_1,k_2$) — определяют резонансную близость;
- сила связи $k_c$ (или эквивалентный параметр $g$) — задаёт скорость обмена и величину расщепления частот;
- отстройка $\Delta ={\omega }_1-{\omega }_2$ — при большой отстройке обмен подавлен;
- затухание/потери $\gamma$ — ограничивают время и глубину переноса энергии;
- начальные условия (фаза и распределение энергии) — влияют на то, как именно будут развиваться биения.
Вывод: резонанс в двух связанных колебаниях проявляется как образование двух нормальных мод со слегка разными частотами и как периодический обмен энергии (биения). Скорость обмена пропорциональна силе связи и резко снижается при росте отстройки или потерь.