Кратко — как предсказать и когда формулы неприменимы.
1) Сохранение массы (непрерывность):
$A_1{v}_1=A_2{v}_2$, => $v_2=v_1\frac{A_1}{A_2}$. При сужении скорость возрастает.
2) Уравнение Бернулли (для стационарного несжимаемого потока вдоль одной линии тока, без учета потерь):
$p+\frac{1}{2}\rho v^2+\rho gh=\text{const}$.
Для горизонтального участка: $p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2$,
следовательно при увеличении $v$ статическое давление $p$ понижается:
$p_2=p_1+\frac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)$.
3) Учет потерь при внезапном сужении (практически обязательно): вводят потери напора $h_L$ или коэффициент потерь $K$:
$p_1+\frac{1}{2}\rho v_1^2=p_2+\frac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g{h}_L$,
обычно $h_L=K\frac{v_2^2}{2g}$. Для резкого сужения $K$ зависит от отношения площадей и числа Рейнольдса; также появляется «vena contracta» (сужение струи) с коэффициентом сжатия $C_c$, из‑за чего скорость в сечении минимум/наибольшая может отличаться от простого соотношения площадей.
4) Уравнения Навье–Стокса (полный подход):
$\rho \left(\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\mathbf{u}\cdot \nabla \mathbf{u}\right)=-\nabla p+\mu {\nabla }^2\mathbf{u}+\rho \mathbf{g}.$ Решение этих уравнений (как правило численно) даёт полные поля скорости и давления, предсказывает пограничные слои, отрыв, рециркуляцию и диссипацию энергии — то есть объясняет потери, которые Бернулли не учитывает.
5) Когда Бернулли применим и когда нет:
- Применим, если: стационарный поток, несжимаемая жидкость, малая вязкость / отсутствие отрыва и турбулентной диссипации по рассматриваемой streamline, нет тепло- или массообмена, Мах $Ma\ll 0.3$.
- Неприменим, если: резкое сужение вызывает отрыв и рециркуляцию, значительные вязкие потери или сильная турбулентность, нестационарность, существенная сжимаемость (высокий $Ma$), многокомпонентный/пенный поток. В таких случаях нужно либо Бернулли с эмпирическими потерями ($K,C_c$), либо полное численное решение Н–С с моделью турбулентности.
6) Когда и Н–С неприменимы:
- Н–С в форме континуума верны при малом числе Кнудсена (неразрежённый газ). При больших $Kn$ (редкие газы) требуется кинетическая теория (Boltzmann, DSMC). Для сложных многокомпонентных/реактивных потоков нужны расширенные модели.
Вывод: для оценки — сначала использовать непрерывность и Бернулли (с поправкой на потери через $K$ и $C_c$). Для детального предсказания давления/скорости при резком сужении решать уравнения Навье–Стокса (обычно численно) и учитывать турбулентность и отрыв.