Коротко — потому что скорость света в среде равна $c/n(\mathbf{r})$; при изменении показателя преломления $n(\mathbf{r})$ в пространстве волновой фронт локально меняет скорость распространения, и для минимизации (стационарности) оптического пути луч изгибается.
Основные уравнения и выводы
- Принцип Ферма (вариационный вид):
$$\delta \int n(\mathbf{r})ds=0,$$ откуда через уравнения Эйлера–Лагранжа получается уравнение луча (векторная форма)
$$\frac{d}{ds}(n(\mathbf{r})\frac{d\mathbf{r}}{ds})=\nabla n(\mathbf{r}),$$ где $s$ — длина дуги по лучу.
- Эйкональное уравнение (волновой метод, геометрическая оптика):
$$|\nabla S(\mathbf{r})|=n(\mathbf{r}),$$ где $S$ — фаза (оптическая длина). Лучи — нормали к поверхностям постоянной $S$.
- Частные случаи:
- Для слоистой (градуированной только по высоте $z$) среды $n=n(z)$ существует сохранение:
$$n(z)\sin \theta =\text{const},$$ где $\theta$ — угол между лучом и горизонталью (аналог закона Снелла в дифференциальной форме).
- В параксиальном приближении для цилиндрически симметричного параболического профиля
$$n(r)=n_0(1-\frac{1}{2}\alpha r^2)$$ уравнение луча превращается в гармонический осциллятор (при $ds\approx dz$):
$$\frac{d^{2}r}{d{z}^2}+\kappa r=0,\kappa \sim \alpha n_0,$$ что даёт синусоидальные траектории (пример GRIN‑волокна/линзы).
Где применяется градиентная оптика (практика)
- GRIN‑линзы и GRIN‑волокна (синусоидальные траектории для фокусировки и малых аберраций).
- Оптические элементы для миниатюрных объективов, микролинз и камер мобильных устройств.
- Атмосферная рефракция: предсказание захода солнца, миражи, астрономические поправки.
- Волноводы и оптоволоконные профили с заданной дисперсией и модовой структурой.
- Плазменная/пленочная оптика и метаматериалы (управление траекторией лучей через пространственно меняемый n).
- Аккустические и гидродинамические аналоги (SOFAR‑канал в океане, звуковая фокусировка).
Короткое итоговое правило: лучи следуют так, чтобы стационаризировать оптический путь $\int nds$; это даёт уравнение $\frac{d}{ds}(nd\mathbf{r}/ds)=\nabla n$, откуда вытекают все практические следствия.